重りが三個の場合

重りの数が三個の場合について考えてみます。二個の場合と同様に、以下の運動

方程式が得られます。 Ｘ_１、Ｘ_２、Ｘ_３ は静止位置からの重りのズレを示しています。

右方向を＋方向に取っています。

Ｍ・（ｄ^２Ｘ_１/ ｄｔ^２）＝－ＫＸ_１＋Ｋ（Ｘ_２－Ｘ_１）

Ｍ・（ｄ^２Ｘ_２/ ｄｔ^２）＝－Ｋ（Ｘ_２－Ｘ_１）＋Ｋ（Ｘ_３－Ｘ_２）

Ｍ・（ｄ^２Ｘ_３/ ｄｔ^２）＝－Ｋ（Ｘ_３－Ｘ_２）－ＫＸ_３

ここで、重りの質量は全て同じでＭ、バネ定数も全て同じでＫです。これらを少し書

き換えると、

ｄ^２Ｘ_１/ ｄｔ^２＝（Ｋ / Ｍ）・（－２Ｘ_１＋Ｘ_２）

ｄ^２Ｘ_２/ ｄｔ^２＝（Ｋ / Ｍ）・（Ｘ_１－２Ｘ_２＋Ｘ_３）

ｄ^２Ｘ_３/ ｄｔ^２＝（Ｋ / Ｍ）・（Ｘ_２－２Ｘ_３）

一番目の式にα、二番目の式にβ、そして、三番目の式にγを掛けて全て足し合

わせます（α、β、γは定数）。

ｄ^２（αＸ_１＋βＸ_２＋γＸ_３）/ ｄｔ^２

＝（Ｋ / Ｍ）・｛（－２α＋β）Ｘ_１＋（α－２β＋γ）Ｘ_２＋（β－２γ）Ｘ_３｝

＝－定数・（αＸ_１＋βＸ_２＋γＸ_３）・（Ｋ/ Ｍ）

三番目の式が成り立つように、α、β、γと定数を決定します。こうすることで、新た

な変数、Ｘ＝αＸ_１＋βＸ_２＋γＸ_３に関して微分方程式が解けるようになります。二

番目の式と三番目の式を比較すると、

（－２α＋β）：（α－２β＋γ）：（β－２γ）＝α：β：γ

よって、次の三式が得られます。

－２αβ＋β^２＝α^２－２αβ＋γα -> β^２＝α^２＋γα

γα－２βγ＋γ^２＝β^２－２βγ -> γα＋γ^２＝β^２

－２γα＋βγ＝αβ－２γα -> βγ＝αβ

以上の式を解くと、

α：β：γ -> １：（２）^１/２：１または１：－（２）^１/２：１または１：０：－１

が得られます。このとき、定数はそれぞれ、２－（２）^１/２、２＋（２）^１/２、２となりま

す。

課題（その１）

上記で示した方法を重りの数がＮ個の場合に一般化してください。行列や行列式な

どの線形代数学の計算法を使っても構いません。