バネの単振動
バネを１０ｃｍ伸ばした位置から離したときのバネの単振動の様子を示します（ 図
１参照、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）。重りの質量ｍを１００ｇとし、バネ定数Ｋをパラメ
ータにしました。バネの伸びＸは以下の式で与えられます。
Ｘ＝Ｂ ＣＯＳ（Ｋ/ｍ）１/２ t
上記の例の場合は、Ｂ＝０．１ｍでｍ＝０．１ｋｇとなります。
バネ定数が大きいほどまた重りの質量が小さいほど、 バネは激しく単振動するこ
とになります。
次に、 放物線運動と同様に空気抵抗がある場合に、 単振動がどのように変わる
かを考えてみましょう。 重りに関する運動方程式（微分方程式）は、空気抵抗の項
を加えて、
ｍｄ２Ｘ/ ｄｔ２＝−ｒｄＸ/ ｄｔ−ｋＸ
となります。この場合も、減衰項ＥＸＰ（−Ｃｔ）が付くことは想像できると思います。し
たがって、解として以下の形を考えることにしましょう。
Ｘ＝ＥＸＰ（−Ｃｔ）・（ Ａ ＳＩＮωｔ＋Ｂ ＣＯＳωｔ ）
よって、速度と加速度は次のようになります。
速度：ｄＸ/ ｄｔ＝−Ｃ ＥＸＰ（−Ｃｔ）・（ Ａ ＳＩＮωｔ＋Ｂ ＣＯＳωｔ ）
＋ωＥＸＰ（−Ｃｔ）・（ Ａ ＣＯＳωｔ−Ｂ ＳＩＮωｔ ）
加速度：ｄ２Ｘ/ ｄｔ２＝Ｃ２ ＥＸＰ（−Ｃｔ）・（ Ａ ＳＩＮωｔ＋Ｂ ＣＯＳωｔ ）
−２Ｃω ＥＸＰ（−Ｃｔ）・（ Ａ ＣＯＳωｔ−Ｂ ＳＩＮωｔ ）
−ω２ ＥＸＰ（−Ｃｔ）・（ Ａ SINωｔ＋Ｂ COSωｔ ）
後は、初期条件からＡ、Ｂ、Ｃを決定すればいい訳です。 まず、空気抵抗がない場
合と同様にバネをX０だけ伸ばした状態から重りを静かに放すとしましょう。
ｔ＝０でＸ＝Ｘ０であるから、
Ｘ０＝Ｂ ・・・・・（１）
また、ｔ＝０でＶ＝０であるから、
０＝−ＣＢ＋ωＡ ・・・・・（２）
そして、ｔ＝０で加速度は−ｋＸ０/ ｍとなるから（上記の運動方程式の右辺第一項
が０になることに注意すれば）、
−ｋＸ０/ ｍ＝ＢＣ２−２ＡＣω−Ｂω２ ・・・・・（３）
最後に、 運動方程式にＸを代入してＥＸＰ（−Ｃｔ）・（ ＳＩＮωｔ）の係数を比較すると、
AＣ２＋２BＣω−Aω２＝−ｋＡ/ ｍ＋ｒ（ＡＣ＋Ｂω）/ ｍ ・・・・・（４）
これら（１）から（４）までの四つの式を解くと、ＡとＣは以下のようになります。
Ａ＝Ｘ０・（ｋ/ ｍω２−１)１/２
C＝ｒ/ ２ｍ
ここで、ωは以下の式で与えられます。
ω＝（ｋ/ ｍ−ｒ２/ ４ｍ２）１/２
振動しながら減衰していく解を求めているので、 上記の式のカッコ内は正になると
します。つまり、
ｋ−ｒ２/ ４ｍ＞０
空気抵抗（ ｒ＝０．１ｋｇ/ｓ ）がある場合の単振動の様子を以下に示します（ 図２参
照、Ｆｕｎctionviewで作成）。
空気抵抗（ ｒ＝０．５ｋｇ/ｓ ）がある場合の単振動の様子を以下に示します（ 図３参
照、Ｆｕｎctionviewで作成）。
