地球表面で働く見かけの力
三次元的な例として、地球表面で働く見かけの力を求めてみましょう。まず、地球表
面での座標系Ｘ１Ｙ１Ｚ１と 地球の中心を原点とする座標系Ｘ２Ｙ２Ｚ２での関係は以
下のようになります。 ここで、θは緯度を表します。 表面の座標系の原点は実際に
は地表にある訳ですが、この関係式では地球の中心と一致させています。 このよう
にしても問題への影響はありません（Ｚ１に地球半径を足すだけで、Ｚ１方向の速度
や加速度は変わらない。図１参照）。ちなみに、Ｘ１軸とＸ２軸は完全に一致させてい
ます（以降、物体Ｓに関する座標値の関係で表示する）。
Ｘ２S＝Ｘ１S
Ｙ２S＝Ｙ１S ＳＩＮθ＋Ｚ１S ＣＯＳθ
Ｚ２S＝−Ｙ１S ＣＯＳθ＋Ｚ１S ＳＩＮθ
＜ ∠Ｚ１ＯＺ２＝π/２−θ、Ｓ→地球表面上にある物体 ＞
（図１、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
地球自体は自転しているので、 座標系Ｘ２Ｙ２Ｚ２に対して角速度ωで反時計方向
に回転している座標系Ｘ３Ｙ３Ｚ３をさらに考えます（図２参照）。ただし、ｔ＝０で、す
べての軸の方向は完全に一致しそして原点も一致しているものとします。すると、
Ｘ３S＝Ｘ２S ＣＯＳωｔ＋Ｙ２S ＳＩＮωｔ
Ｙ３S＝−Ｘ２S ＳＩＮωｔ＋Ｙ２S ＣＯＳωｔ
Ｚ３S＝Ｚ２S
＜ ∠Ｘ２Ｏ Ｘ３＝ωｔ ＞
（図２、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
よって、座標系Ｘ１Ｙ１Ｚ１と座標系Ｘ３Ｙ３Ｚ３での関係は、
Ｘ３S＝Ｘ１S ＣＯＳωｔ＋Ｙ１S ＳＩＮθＳＩＮωｔ＋Ｚ１S ＣＯＳθＳＩＮωｔ
Ｙ３S＝−Ｘ１S ＳＩＮωｔ＋Ｙ１S ＳＩＮθＣＯＳωｔ＋Ｚ１S ＣＯＳθＣＯＳωｔ
Ｚ３S＝−Ｙ１S ＣＯＳθ＋Ｚ１S ＳＩＮθ
となります。これらを ｔ に関して微分すると、
（Ｘ方向）→ｄＸ３S/ｄｔ＝（ｄＸ１S/ｄｔ）・ＣＯＳωｔ＋（ｄＹ１S/ｄｔ）・ＳＩＮθＳＩＮωｔ
＋（ｄＺ１S/ｄｔ）・ＣＯＳθＳＩＮωｔ−Ｘ１S・ωＳＩＮωｔ
＋Ｙ１S・ωＳＩＮθＣＯＳωｔ＋Ｚ１S・ωＣＯＳθＣＯＳωｔ
（Ｙ方向）→ｄＹ３S/ｄｔ＝−（ｄＸ１S/ｄｔ）・ＳＩＮωｔ＋（ｄＹ１S/ｄｔ）・ＳＩＮθＣＯＳωｔ
＋（ｄＺ１S/ｄｔ）・ＣＯＳθＣＯＳωｔ−Ｘ１S・ωＣＯＳωｔ
−Ｙ１S・ωＳＩＮθＳＩＮωｔ−Ｚ１S・ωＣＯＳθＳＩＮωｔ
（Ｚ方向）→ｄＺ３S/ｄｔ＝−（ｄＹ１S/ｄｔ）・ＣＯＳθ＋（ｄＺ１S/ｄｔ）・ＳＩＮθ
もう一度、ｔ に関して微分すると、
（Ｘ方向）→ｄ２Ｘ３S/ｄｔ２＝｛ （ｄ２Ｘ１S/ｄｔ２）・ＣＯＳωｔ
＋（ｄ２Ｙ１S/ｄｔ２）・ＳＩＮθＳＩＮωｔ＋（ｄ２Ｚ１S/ｄｔ２）・ＣＯＳθＳＩＮωｔ ｝
＋｛−（ｄＸ１S/ｄｔ）・２ωＳＩＮωｔ＋（ｄＹ１S/ｄｔ）・２ωＳＩＮθＣＯＳωｔ
＋（ｄＺ１S/ｄｔ）・２ωＣＯＳθＣＯＳωｔ ｝＋｛−Ｘ１S・ω２ ＣＯＳωｔ
−Ｙ１S・ω２ ＳＩＮθＳＩＮωｔ−Ｚ１S・ω２ ＣＯＳθＳＩＮωｔ ｝
（Ｙ方向）→ｄ２Ｙ３S/ｄｔ２＝｛−（ｄ２Ｘ１S/ｄｔ２）・ＳＩＮωｔ
＋（ｄ２Ｙ１S/ｄｔ２）・ＳＩＮθＣＯＳωｔ＋（ｄ２Ｚ１S/ｄｔ２）・ＣＯＳθＣＯＳωｔ ｝
＋｛−（ｄＸ１S/ｄｔ）・２ωＣＯＳωｔ−（ｄＹ１S/ｄｔ）・２ωＳＩＮθＳＩＮωｔ
−（ｄＺ１S/ｄｔ）・２ωＣＯＳθＳＩＮωｔ ｝＋｛ Ｘ１S・ω２ ＳＩＮωｔ
−Ｙ１S・ω２ ＳＩＮθＣＯＳωｔ−Ｚ１S・ω２ ＣＯＳθＣＯＳωｔ ｝
（Ｚ方向）→ｄ２Ｚ３S/ｄｔ２＝−（ｄ２Ｙ１S/ｄｔ２）・ＣＯＳθ
＋（ｄ２Ｚ１S/ｄｔ２）・ＳＩＮθ
これで、回転する座標系 Ｘ３Ｙ３Ｚ３での加速度を回転していない座標系 Ｘ１Ｙ１Ｚ１で
の位置や速度そして加速度で表すことができました。 最初の例として、赤道上で静
止している物体に働く力を求めてみます。 この例では、θが０度となります。また、ｔ
＝０で、Ｚ１軸の＋方向とＹ３軸の＋方向が一致していると仮定します。 したがって、
赤道上で静止している物体の座標系 Ｘ１Ｙ１Ｚ１での初期条件を以下のように取りま
す。
Ｘ１S＝Ｙ１S＝０、Ｚ１S＝Ｒ（Ｒは地球の半径）
ｄＸ１S/ｄｔ＝−Ｒω（ωは自転の角速度）、ｄＹ１S/ｄｔ＝ｄＺ１S/ｄｔ＝０
ｄ２Ｘ１S/ｄｔ２＝ｄ２Ｙ１S/ｄｔ２＝ｄ２Ｚ１S/ｄｔ２＝０
これに対応する座標系Ｘ３Ｙ３Ｚ３での加速度（ｔ＝０）は、
（Ｘ方向）→ ｄ２Ｘ ３S/ｄｔ２＝０
（Ｙ方向）→ ｄ２Ｙ ３S/ｄｔ２＝２ Ｒω２−Ｒω２＝Ｒω２
（Ｚ方向）→ ｄ２Ｚ ３S/ｄｔ２＝０
となります。つまり、物体に働く地球の重力ＭＧとは反対方向に、遠心力ＭＲω２が
働きます。 ここで、 Ｍは物体の質量で、Ｇは重力加速度です。 では、実際に数値を
入れて、重力加速度（９．８ ｍ/ｓ２）と遠心力による加速度を比較してみましょう。遠
心力は次のようにも書けます。
ＭＲω２＝ＭＶ２/Ｒ → Ｒω２＝Ｖ２/Ｒ（遠心力による加速度）
Ｖ（ｍ/ｓ）は地球が一日で一回転するので、
Ｖ＝（３．１４）Ｘ（１．２７Ｘ１０７）/（２４Ｘ６０Ｘ６０） （ｍ/ｓ）
＝４６２ （ｍ/ｓ）
この数値を使って加速度を計算すると、Ｒω２＝０．０３ （ｍ/ｓ２）となります。重力加
速度に比べてかなり小さいことが判ります。
次に、 日本の緯度程度にある物体に働く見かけの力を検討してみます。 ｔ＝０での
見かけの力を書き出すと、
（Ｘ方向）→ Ｍ・（ｄ２Ｘ３S/ｄｔ２）＝Ｍ・（ｄＹ１S/ｄｔ）・２ωＳＩＮθ
＋Ｍ・（ｄＺ１S/ｄｔ）・２ωＣＯＳθ−Ｍ・Ｘ１S・ω２
（Ｙ方向）→ Ｍ・（ｄ２Ｙ３S/ｄｔ２）＝−Ｍ・（ｄＸ１S/ｄｔ）・２ω
−Ｍ・Ｙ１S・ω２ ＳＩＮθ−Ｍ・Ｚ１S・ω２ ＣＯＳθ
Ｚ方向には見かけの力は働きませんので注意してください。 地表面で 単純な振り
子を南北方向に振らしているときに働く見かけの力を計算してみます。 振り子の重
りが真下に来たとき（ｔ＝０）の座標値を以下のように取ります。
Ｘ１S＝Ｙ１S＝０、Ｚ１S＝Ｒ（Ｒは地球の半径）
また、振り子全体が地球と共に自転していることを考慮すると、速度成分（ｔ＝０）は
ｄＸ１S/ｄｔ＝−ＲωＣＯＳθ、ｄＹ１S/ｄｔ＝ＶMAX（北→南：符号は＋）、
ｄＺ１S/ｄｔ＝０
ゆえに、見かけの力の各成分（ｔ＝０）は、
（Ｘ方向）→ Ｍ・（ｄ２Ｘ３S/ｄｔ２）＝ＭＶMAX・２ωＳＩＮθ
（Ｙ方向）→ Ｍ・（ｄ２Ｙ３S/ｄｔ２）＝２ＭＲω２ ＣＯＳθ−ＭＲω２ ＣＯＳθ
＝ＭＲω２ ＣＯＳθ
となります。 この結果から、重りが南から北へ向かって動いているときには、重りに
東向きの力が加わり、 逆に、北から南の場合には、西向きの力が加わることが判
ります。 これは、 振り子の振れる面が南北方向から東向きに回転することを意味
します。 Ｙ方向の見かけの力は 南斜め上向きの遠心力で振り子の運動面には影
響を与えません。 振り子を 東西方向に振らしている場合についても考えてみます。
この場合の速度の各成分（ｔ＝０）は、
ｄＸ１S/ｄｔ＝−ＲωＣＯＳθ＋ＶMAX（東→西のとき、ＶMAXの符号は＋）、
ｄＹ１S/ｄｔ＝ｄＺ１S/ｄｔ＝０
これより、見かけの力の各成分（ｔ＝０）は、
（Ｘ方向）→ Ｍ・（ｄＸ３S/ｄｔ）＝０
（Ｙ方向）→ Ｍ・（ｄＹ３S/ｄｔ）＝ＭＲω２ ＣＯＳθ−２ＭＶMAX ω
となり、振り子が西から東に向かって動いているときの方が、東から西に向かって動
いているときより、遠心力方向の力が大きいことが判ります。このため、振り子の運
動面が東西方向から南側に回転することが判ります。 以上のことをまとめると、振
り子の運動面に対する見かけの力の影響は、東→南→西→北 という 時計方向の
回転の発生であるという結論になります。フーコーの振り子の実験はこれを示すた
めの実験であった訳です（地球が自転していることの証明）。ちなみに、ωを含む項
をコリオリの力と言います。
課題（その１）
フーコーの振り子を北極や南極そして赤道上で振った場合にどうなるかを考えてく
ださい。また、オーストラリアなどの南半球にある国で振った場合はどうですか。
課題（その２）
上記で説明した 振り子の運動面の回転速度を議論してください。 回転速度は時間
的に変動しますか？数式または数値を使って説明してください。
最後に、 見かけの力が地球規模で起こっている気象現象にどのような影響を与え
ているかを考えてみましょう。特に、これらの力は台風などの発生に大きく関わって
いると言われています。台風はもともと熱帯低気圧が発達したものです。この低気
圧の中心部では、地上の空気が暖められて上昇気流が発生しています。