楕円の周長の数値積分
楕円の周上にある複数の点を直線で結んで、 その長さをピタゴラスの定理を使っ
て計算しすべて足し合わせる方法で楕円の周長を求めてみます。 以下の楕円の方
程式をまずパラメータ表示すると、
楕円の方程式： Ｘ２/ ９＋Ｙ２/ ４＝１
楕円のパラメータ表示： Ｘ＝３ ＣＯＳ ｔ Ｙ＝２ ＳＩＮ ｔ
長さを計算するやり方としては、 領域（Ｘ ≥ ０、Ｙ ≥ ０）にある楕円の一部を求め、 そ
れを４倍することにします。 したがって、ｔの範囲は０度から９０度になります。また、
点の数を増やせば増やすほど、計算の精度が上がることに注意してください。
それでは、楕円の周長を計算するプログラムを次に示します。 十進ＢＡＳＩＣを使っ
て作成しています。
短径と長径の長さを共に２とすれば、半径１の円となります。 その周長は、当然、２
πになります。 プログラムのチェックにもなるので、 楕円の周長を計算する前に、半
径１の円の円周の長さを計算してみてください。 ちなみに、長径が６、短径が４の楕
円の周長は、１５．８７となります。点の座標値は１度刻みで計算しました。
長楕円になるほど、 ２周長/（短径＋長径）がπの値から大きくずれてくることを確
認してみてください。 短径が０、長径が無限大になる極限では、上記の値は当然、
４に近づくことになります。
上で行った計算は、線分近似（線積分とも言う）を使った計算ですが、曲線の長さを
求める一般公式を使っても計算できます。楕円の式の両辺を微分すると、
２ＸｄＸ/９＋ＹｄＹ/２＝０
ゆえに、
ｄＹ/ｄＸ＝−４Ｘ/９Ｙ
となります。したがって、一般公式から、
Ｌ＝４∫（１＋１６Ｘ２/８１Ｙ２）１/２ ｄＸ
となります。ここで、積分の範囲はＸが０から３までです。次に、パラメータ表示を使っ
て、積分式を変数変換してみます。
Ｌ＝４∫（１＋４ ＣＯＳ２ｔ/ ９ ＳＩＮ２ｔ）１/２（−３ ＳＩＮｔ）ｄｔ
＝−４∫（９ ＳＩＮ２ｔ＋４ ＣＯＳ２ｔ）１/２ ｄｔ
となります。ここで、積分範囲はｔが９０度から０度までです。 この積分式を数値計算
するときは、ラジアンに直してから計算してください。