第二の法則の証明

ケプラーの第二の法則（面積速度一定の法則 ）をベクトルの外積の考え方と運動

方程式を使って証明してみましょう。太陽から惑星に向かう動径ベクトルが単位時

間にスイープする面積Ｓはベクトルの外積を使って以下のようになります （ 図１参

照、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）。

したがって、Ｓの時間微分が０になることを証明すれば良い訳です。ベクトルＲとベ

クトルＶの外積の時間微分を計算してみます。ただし、惑星に関する運動方程式を

ベクトル表示したものは以下のようになります。

ｍ ｄV /ｄｔ＝−ｍ M G R / R^３

ここで、ｍは惑星の質量、Mは太陽の質量、そしてGは万有引力の定数です。 また

、ベクトルは太字のイタリック体で表しています。V は惑星の速度ベクトルであり、

R は太陽から惑星に向かう動径ベクトル（または位置ベクトル）です。 よって、 R＝

| R |であることに注意してください。

上記の式において、ｍで両辺を割ると次のようになります。

A は惑星の加速度ベクトルです。

ゆえに、R  X V の時間微分は

ｄ（R XV ）/ｄｔ＝（ｄR /ｄｔ）XV ＋R X（ｄV /ｄｔ）

運動方程式を使って書き換えると、

ｄ（R XV ）/ｄｔ＝V X V −R X M G R / R^３

＝０ （証明終わり）

となります。 上記の式で、V X V ＝０ およびR X R ＝０ という関係を使うと、最終

的な結論が得られます。０ は零ベクトルを表しています。

以上からＳの時間微分が０になることを証明できました。 ベクトルの外積に関する

計算については、コーヒーブレーク（発展編）のベクトル解析で詳細に説明します。

太陽に近い領域では、惑星の速度の大きさは増すことになります。

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