第三の法則の証明

ケプラーの第三の法則（調和の法則）を証明してみましょう。楕円軌道の長径の長

さを２Ａとし短径の長さを２Ｂとすると、面積速度Ｓを使って周期Ｔを表すと、

Ｔ＝πＡＢ/ Ｓ

平均距離Ｒ_aveを使って楕円軌道の面積を表すと、上式は

Ｔ＝πＲ_ave^２/ Ｓ

次に、 平均速度の大きさＶ_aveを使って書き換えるとＳはＲ_aveＶ_ａｖｅ/ ２となるので

、

Ｔ＝２πＲ_ave/ Ｖ_ave

前ページの式（１）から、Ｖ_aveは次のようになるので、

Ｖ_ave＝（ＧＭ/ Ｒ_ave）^{１/ ２}

結局、周期Ｔは

Ｔ＝２πＲ_ave/ （ＧＭ/ Ｒ_ave）^{１/ ２}

ここで、両辺を二乗して整理すると、

Ｔ^２＝４π^２Ｒ_ave^３/ ＧＭ

これで、周期の二乗が平均距離の三乗に比例することが証明できました。