ドーナツ形状の体積と表面積

ドーナツ形状の体積を計算してみましょう。ドーナツ形状は図１に示す点Ａを中心と

する円をＸ軸に関して回転させることで形成できます。

＜ＡＯ＝ＢＯ＝Ｒ_１、ＡＥ＝ＢＦ＝Ｒ_２、Ｒ_１＞Ｒ_２＞

（図１、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）

つまり、 弧ＨＥをＸ軸に関して回転させてできる回転体の体積から、 弧ＥＣをＸ軸に

関して回転させてできる回転体の体積を引いて２倍したものが   ドーナツ形状の体

積になります。点Ａを中心とする円の式がＸ^２＋（Ｙ−Ｒ_１）^２＝Ｒ_２^２となるので、

Ｖ＝２π∫｛ Ｒ_１＋（Ｒ_２^２−Ｘ^２）^１/２ ｝^２ ｄＸ

−２π∫｛ Ｒ_１−（Ｒ_２^２−Ｘ^２）^１/２ ｝^２ ｄＸ

＝８πＲ_１∫（Ｒ_２^２−Ｘ^２）^１/２ ｄＸ

＝（８πＲ_１）・（πＲ_２^２/４）

＝２π^２ Ｒ_１ Ｒ_２^２ （体積）

となります。積分の式はＸ＝Ｒ_２ＳＩＮθと変数変換して計算しています。したがって

、変換後の積分の範囲は ０ から Ｒ_２までではなく、０ から π/２ までとなります。

次に、ドーナツ形状の表面積を計算します。 トーラス座標を使って計算します。図２

はドーナツ形状をＸ-Ｙ平面でカットした断面図です。  表面上にある微小幅を持つリ

ングＣＤＦＥを考えます。

＜∠ＧＡＨ＝φ、ＣＥ＝Ｒ_２Δφ、ＨＯ＝Ｒ_１−Ｒ_２ＣＯＳφ＞

（図２、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）

このリングの面積は２π（Ｒ_１−Ｒ_２ＣＯＳφ）・Ｒ_２Δφで与えられます。ゆえに、ド

ーナツ形状の表面積は、

Ｓ＝２πＲ_２∫（Ｒ_１−Ｒ_２ＣＯＳφ） ｄφ

＝（２πＲ_２）・（２πＲ_１）

＝４π^２ Ｒ_１Ｒ_２（表面積）

となります。積分の範囲は ０ から ２πまでです。 体積の式をＲ_２に関して微分する

と、表面積の式になることに注意してください。

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