円周率を求める
円周率を近似的に計算してみましょう。 まず最初に考えられるのは内接する正三
角形の周の長さで近似することです。円の半径をＲとすると、正三角形の周の長さ
は図１から判るように、３ルート３・Ｒとなります。 したがって、近似的な円周率は３
ルート３/２となり、数値的に、２．５９８となります。
＜∠BOH＝６０°、ＢＣ⊥ＯＨ → OB：BH：HO=２：ルート３：１＞
（Functionviewで作成）
次に、内接する正四角形で近似した場合ですが、正四角形の周の長さは図２から
判るように、４ルート２・Ｒ となります。近似的な円周率は２ルート２となり、数値的
に、２．８２８となります。
＜∠BOH＝４５°、ＢＣ⊥ＯＨ → OB：BH：HO＝ルート２：１：１＞
（Functionviewで作成）
同様に正十二角形を使うと、近似的な円周率は６・（ルート３−１）/ルート２となり
、数値的に、３．１０６となります（図形的な近似計算に興味がある受講生の方は以
下のリンクに飛んでください）。
つまり、近似する正多角形の角数を増やせば、近似的に計算される円周率はどん
どん真の円周率の値（ ３．１４１５・・・）に近づいて行くことになります。 高校の数学
２で習う三角関数を使えば、円周率の近似値はＮ・ＳＩＮ（１８０度/N）で与えられま
す（図３参照）。ここで、Ｎは正多角形の角数です。
＜∠BOH＝１８０°/ Ｎ、ＢＣ⊥ＯＨ＞
（Functionviewで作成）
十進ＢＡＳＩＣのプログラムとそれを使って数値計算したものを以下に示します。
思った以上に収束性が悪く、角数でいうと二百何十角まで行かないと３．１４１５レ
ベルの円周率を得られません。以下に、角数２５までの計算結果を示します。
この結果から、小学校のゆとり教育で採用されていた円周率の値、３は正六角形
の近似値であったことが判ります。そういう意味では、まったく根拠がない数字を教
科書に載せていた訳でもなさそうです（ 小数点以下は覚えにくいから、 えいやーと
削除したという話もあります。 もし、そうだとすると、ちょっと数学的なセンスがなさ
過ぎる！？）。
世界では、スーパーコンピュータを使って何億桁・何兆桁と円周率を計算している
研究者がいますが、皆さんはそこまでやる必要はありません。但し、コンピュータの
計算精度を超えて円周率を求めるその数学的な手法を考えてみることは、 皆さん
にとって有益であるかもしれません。
最後に、 高校で習う数学３の極限を使って円周率の近似値がπになることを確認
してみましょう。 ここで角度はラジアンで表現しています。Xが０に限りなく近づくと
き、SINX / X が１に限りなく近づくことに注意してください。
Lim N SIN（π/ N）＝πLim SIN（π/ N）/ （π/ N）＝π （N→∞）
また、高校の数学３で習う極座標で円を表すと、以下の式になります（図４参照）。
円の方程式： X２＋Y２＝R２
極座標変換： X＝R COSθ Y＝R SINθ
＜OP＝R、∠POH＝θ、ＰＨ⊥ＯＨ＞
（Functionviewで作成）
円周率と三角関数の深い繋がりの話は、 とりあえずここまでとしておきます。 正五
角形、正六角形そして正八角形の図形的な近似値の計算については、 受講生の
ための課題として置きます。できるかどうか、トライしてみてください。
以上までの議論では、 円周率の計算において内接する正多角形を使いましたが、
外接する正多角形 を使っても円周率を近似計算できます。 角数がNの場合の円
周率の近似式を求めてみてください。 外接する正三角形、正四角形、正五角形、
正六角形、 正八角形 、 正十二角形で近似した場合の円周率の値はどうなります
か！？もし可能ならば、無理数を含む形で表してください（図５、６、７参照）。
＜外接する正三角形＞
（Functionviewで作成）
＜外接する正四角形＞
（Functionviewで作成）
＜外接する正六角形＞
（Functionviewで作成）
課題（その１）
コンピュータの計算精度を超えて円周率を計算する為の方法を議論してください。
円周率の小数点以下第百位、第千位、第万位の数字を求めてください。