振り子の正確な周期

近似的な計算では振り子の周期は振れ角に依存しませんでした。 では、 数値計

算でより正確な周期を求めてそれがどのようになるかチェックしてみましょう。

まず、振り子の糸の長さを０．３メートルとします。 振り子の近似的な周期は２π/（

G/L)^1/2で与えられるので、重力加速度９．８メートル/秒^２を使って 約１．１秒とな

ります。

力学的なエネルギーの保存則を使えば、 任意のθでの速度の大きさを計算する

ことができます。 これを使って振り子の重りが円周上の微小な距離ＬΔθを移動す

るのにかかる微小時間を計算できます。よって、正確な周期はこれらをθ₀から０の

角度まで積分して４倍すれば得られます（図１参照）。

振れ角がθ₀のときの重りの速度は、

V＝｛ ２GL（ COSθ−COSθ₀） ｝^１/２

この速度で微小距離Lｄθ（極限で）を動くので、振り子の周期は

T=４∫Lｄθ/ { ２GL（ COSθ−COSθ₀） ｝^１/２

で与えられます。ただし、積分の範囲はθ₀から０までです。

十進ＢＡＳＩＣを使って上の積分式を数値計算してみます。以下に、そのプログラム

を示します。

振り子の振れ角をパラメータにして数値積分した結果を以下に示します。

上記の結果から振れ角が小さいときは周期の値は近似値に近いものになっていま

すが、振れ角が３０度を超えて大きくなると近似値からかなりずれてくることが判り

ます。 この辺の状況は実験的にも確認できると思いますので、 確かめてみてくだ

さい。小中高の実験室では無理かもしれませんが、大学や筑波にある国の研究所

では大きな真空チャンバーがありその中で実験をやるという手はあります。オープ

ンラボなどでリクエストしてみてください。空気抵抗の影響を受けずに実験ができま

す。

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