振り子に関する運動方程式の導出

前ページでは、少し直観的な方法で振り子の運動方程式を求めましたが、もう少し

厳密な方法で運動方程式を求めてみましょう。振り子の糸の長さをＬとし、重りの

質量をＭそして重力加速度をＧとします。また、糸に働く張力はＴです。重りの

重心座標は（Ｘ、Ｙ）とします。

（図１、十進ＢＡＳＩＣによる２Ｄグラフィックス）

図１を見てください。ＸとＹをθと関連付ける次の二式が得られます。ここで、Ｘ軸の

＋方向を右向きに、そして、Ｙ軸の＋方向を下向きに取りました。

Ｘ＝ＬＳＩＮθ　　　　　Ｙ＝ＬＣＯＳθ

上式の両辺をｔに関して微分します。

ｄＸ / ｄｔ＝（ＬＣＯＳθ）・（ｄθ/ ｄｔ）

ｄＹ / ｄｔ＝（－ＬＳＩＮθ）・（ｄθ/ ｄｔ）

さらに、ｔに関して微分すると、

ｄ^２Ｘ / ｄｔ^２＝（－ＬＳＩＮθ）・（ｄθ/ ｄｔ）^２＋（ＬＣＯＳθ）・（ｄ^２θ/ ｄｔ^２）

ｄ^２Ｙ / ｄｔ^２＝（－ＬＣＯＳθ）・（ｄθ/ ｄｔ）^２＋（－ＬＳＩＮθ）・（ｄ^２θ/ ｄｔ^２）

が得られます。次に、運動方程式を求めます。重りに働くＸ方向とＹ方向の力を考

慮すると、

Ｘ方向-> Ｍ・（ｄＸ^２ / ｄｔ^２）＝－ＴＳＩＮθ

Ｙ方向-> Ｍ・（ｄＹ^２ / ｄｔ^２）＝ＭＧ－ＴＣＯＳθ

以上で得られた式を使って、θについての運動方程式を求めます。まず、Ｘまたは

Ｙとθの関係式をｔに関して二回微分した一番目の式にＣＯＳθを掛けたものから

、二番目の式にＳＩＮθを掛けたものを引くと、

ＣＯＳθ・（ｄ^２Ｘ / ｄｔ^２）－ＳＩＮθ・（ｄ^２Ｙ / ｄｔ^２）

＝Ｌ・（ＳＩＮ^２θ＋ＣＯＳ^２θ ）・（ｄ^２θ/ ｄｔ^２）

＝Ｌ・（ｄ^２θ/ ｄｔ^２）

また、Ｘ方向の運動方程式にＣＯＳθを掛けたものからＹ方向の運動方程式にＳＩＮ

θを掛けたものを引くと、

Ｍ・｛ＣＯＳθ・（ｄ^２Ｘ / ｄｔ^２）－ＳＩＮθ・（ｄ^２Ｙ / ｄｔ^２）｝＝－ＭＧ・ＳＩＮθ

この式と一つ上の式の両辺にＭを掛けたものを比較すると、

ＭＬ・（ｄ^２θ/ ｄｔ^２）＝－ＭＧ・ＳＩＮθ

が最終的に得られます。

課題（その１）

上記の微分方程式を数値的に解いてください。それを近似解と比較するとどうなり

ますか。

ＸとＹだけを使って、この問題を解く方法を簡単に説明して置きます。Ｘ方向とＹ方向

の運動方程式にあるＳＩＮθとＣＯＳθをＸ及びＹを使って表します。

Ｘ方向-> Ｍ・（ｄ^２Ｘ / ｄｔ^２）＝－ＴＸ / Ｌ

Ｙ方向-> Ｍ・（ｄ^２Ｙ / ｄｔ^２）＝ＭＧ－ＴＹ / Ｌ

さらに、以下の束縛条件を使います。

Ｘ^２＋Ｙ^２＝Ｌ^２

Ｘ、ＹそしてＴの三つの未知数に対して三式があるので、問題は解けることになりま

す。