梯子型の無限抵抗の計算
前のページの梯子型抵抗の計算で得られた結果から、Ｒの前の係数は、
１/１、３/４、１１/１５、４１/５６、・・・
となっています。上記の分数の分子と分母に注目すると、
Ａ１＝１、Ａ２＝３、Ａ３＝１１、Ａ４＝４１、・・・
Ｂ１＝１、Ｂ２＝４、Ｂ３＝１５、Ｂ４＝５６、・・・
という｛ＡＮ｝と｛ＢＮ｝の二つの無限数列が得られます。
これらには共に次のような関係があることが推測できます。
ＡＮ＝４ＡＮ−１−ＡＮ−２、ＢＮ＝４ＢＮ−１−ＢＮ−２
まず、｛ＡＮ｝の一般項を求めることを考えます。ＰとＱを使って以下のような式を作り
ます。
ＡＮ−ＰＡＮ−１＝Ｑ（ＡＮ−１−ＰＡＮ−２）
→ ＡＮ＝（Ｐ＋Ｑ）ＡＮ−１−ＰＱＡＮ−２
これを一つ上の式と比較して、
Ｐ＋Ｑ＝４、ＰＱ＝１
→ Ｐ（４−Ｐ）＝１ → （Ｐ−２）２＝３ → Ｐ＝２＋ルート３、２−ルート３
従って、
Ｑ＝２−ルート３、２＋ルート３
Ｐ＝２＋ルート３とＱ＝２−ルート３の組み合わせから、
ＡＮ−（２＋ルート３）ＡＮ−１＝（２−ルート３）Ｎ−２｛Ａ２−（２＋ルート３）Ａ１｝
→ ＡＮ−（２＋ルート３）ＡＮ−１＝（２−ルート３）Ｎ−２（１−ルート３）
が得られます。但し、Ｎは３以上です。同様に、Ｐ＝２−ルート３とＱ＝２＋ルート３の
組み合わせから、
ＡＮ−（２−ルート３）ＡＮ−１＝（２＋ルート３）Ｎ−２（１＋ルート３）
勿論、Ｎは３以上です。これら二式の両辺に関して引き算をすると、
−２ルート３ ＡＮ−１＝
（２−ルート３）Ｎ−２（１−ルート３）−（２＋ルート３）Ｎ−２（１＋ルート３）
｛ＢＮ｝の一般項も同じようにして、
−２ルート３ ＢＮ−１＝（２−ルート３）Ｎ−１−（２＋ルート３）Ｎ−１
よって、抵抗Ｒの係数の一般式が
ＡＮ/ＢＮ＝｛（２−ルート３）Ｎ−１（１−ルート３）−（２＋ルート３）Ｎ−１
（１＋ルート３）｝/｛（２−ルート３）Ｎ−（２＋ルート３）Ｎ｝
と判ります。結論として、無限に抵抗が並んだ梯子型抵抗の抵抗値は、
ＲＮ＝２Ｒ＋ＡＮＲ / ＢＮ
において、Ｎを無限に大きくした時の極限値となります。 （２−ルート３）Ｎの項は括
弧の中の値が１より小さいので、Ｎを無限大にすると０に収束します。ゆえに、
Ｒ∞ → ２Ｒ＋（１＋ルート３）Ｒ/（２＋ルート３） （Ｎ→∞）
が得られます。