偏微分

関数が多変数でできていれば、変数ごとに微分することになります。 微分係数の

定義も一変数の場合とほぼ同じになります。ただし、微分しない他の変数の値は

固定されますので、注意してください。

微分係数の定義は以下のようになります。 ここでは、二変数の関数について説明

します。

Xに関する偏微分：　F_X（X、Y）＝Lim ｛ F（X＋ｈ、Y）−F（X、Y） ｝/ ｈ　（ｈ→0）

Yに関する偏微分：　F_Y（X、Y）＝Lim ｛ F（X、Y＋ｈ）−F（X、Y） ｝/ ｈ　（ｈ→0）

上の定義に基づいて、以下の関数の偏微分を計算してみます。

F（X、Y）＝X^２＋２XY＋Y^２

よって、F（X＋ｈ、Y）とF（X、Y＋ｈ）は次のようになります。

F（X＋ｈ、Y）＝（X＋ｈ）^２＋２（X＋ｈ）Y＋Y^２

F（X、Y＋ｈ）＝X^２＋２X（Y＋ｈ）＋（Y＋ｈ）^２

したがって、XおよびYに関する偏微分は、

F_X（X、Y）＝Lim （２ｈX＋ｈ^２＋２ｈY）/ ｈ＝２X＋２Y　（ｈ→0）

F_Y（X、Y）＝Lim （２ｈX＋２ｈY＋ｈ^２）/ ｈ＝２X＋２Y　（ｈ→0）

一般的に、偏微分の演算子は交換可能ではないので注意してください。つまり、X

で偏微分してからYで偏微分したときの値と、Yで偏微分してからXで偏微分したとき

の値は必ずしも等しくありません。 ただし、上の例では共にF_XY（X、Y）＝F_YX（X、

Y）＝２で等しくなっています。

また、偏微分の記号として以下の記号も使われます。

∂F（X、Y）/ ∂X　　∂F（X、Y）/ ∂Y

偏微分の図形的な意味合いも確認して置きましょう。 Ｆ_ＸとＦ_Ｙは、曲面Ｚ＝Ｆ（Ｘ、Ｙ）

上のある点ＡでのＸ方向とＹ方向の勾配になります（図１参照）。ゆえに、山の頂上

や谷の底のような形状をしている部分では、 Ｆ_ＸとＦ_Ｙは共に０になることに注意しま

しょう。球の例で言えば、北極点と南極点がこれに相当します。

（Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）

SINX SINY SIN（X＋Y）の最大値

物理における多くの現象は、この偏微分を使って方程式として表現されます。 例え

ば、電磁波の伝搬、 空気中での物質の拡散、 金属内の熱の伝導などの現象で

す。

それでは、そのいくつかを見てみましょう。

１．電磁波の伝搬

２．物質の拡散

Topへ