自由なバネの運動

自由なバネの運動について考えてみましょう。以下の図はバネの両端に質量ｍの

重りが付いたものを示しています（図１参照）。

重り１の運動方程式：　ｍ ｄ^２X_１/ ｄｔ^２＝K（X_２−X_１）

重り２の運動方程式：　ｍ ｄ^２X_２/ ｄｔ^２＝−K（X_２−X_１）

この場合も、 第二式から第一式を足したり引いたりして新たな変数を導入します。

Ｘｃ＝（Ｘ_２＋Ｘ_１＋Ｌ）/２ とＸｒ＝Ｘ_２−Ｘ_１です。Ｘｃはこの系の重心の座標、Xr は

第１の重りに対する第２の重りの相対的な位置を表しています。  まず、 連立微分

方程式は以下のようになります。

ｄ^２X_１/ ｄｔ^２＝K（X_２−X_１）/ ｍ

ｄ^２X_２/ｄｔ^２＝−K（X_２−X_１）/ ｍ

次に、新たな変数を導入した後の微分方程式を示します。

ｄ^２X_２/ ｄｔ^２−ｄ^２X_１/ ｄｔ^２＝ｄ^２（X_２−X_１）/ ｄｔ^２＝−２K（X_２−X_１）/ ｍ

ｄ^２X_２/ ｄｔ^２＋ｄ^２X_１/ ｄｔ^２＝ｄ^２（X_２＋X_１）/ ｄｔ^２＝０

ゆえに、XｒとXｃに関する微分方程式は、

ｄ^２Xｒ/ ｄｔ^２＝−２KXｒ/ ｍ

ｄ^２Xｃ/ ｄｔ^２＝０

新変数で表した微分方程式の内、 上の式はバネの振動運動を表し、 下の式は系

全体の重心の平行移動を表します。 この場合、 系全体として外力を受けてません

ので、重心は静止か等速直線運動をすることになります。

このバネの両端に付いた重りのモデルは、同じ元素からできた二原子分子のモデ

ルでもあります。 分子のエネルギーなどを論じるときに重要になってきます。

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