重力下のひもの形状
円周率の計算で使ったモンテカルロ法を活用して、二点で結ばれた長さＬのひもが
重力下でどのような形状になるかをシミュレーションしてみましょう。 ひもの伸縮性
は考慮しないものとします。
シミュレーションの進め方は次のようになります。ひもを結び付ける二つの座標を決
定します。 Ｘ０をひもを結びつけている点の一つ目のＸ座標だとし、ＸＮを二つ目のＸ
座標とします。これらのＸ座標間をＮ等分します。 Ｎ等分した領域の境い目のＸ座標
は、それぞれＸ１、Ｘ２、Ｘ３、・・・・・ＸＮ−１となります。 これらのＸ座標とペアになるＹ
座標を、乱数を使ってある範囲でランダムに選びます。 これによって、Ｎ−１個の新
たな座標点ができます。 Ｘ０からＸＮまでをそれぞれ直線で結んでその長さの合計が
Ｌに十分に近ければ、以下のステップに移ります。
上のプロセスでひもの長さは要求される条件を満足しているので、 ひもの位置エ
ネルギーを計算することを考えます。位置エネルギーはＭＧＨで表されるので（Ｍは
質量、Ｇは重力加速度、 そしてＨは高さ）、 ひもの線密度をρとして各区間のひも
の長さは、
Ｌｉ＝｛（Ｘｉ−Ｘｉ-1）２＋（Ｙｉ−Ｙｉ-1）２｝１/２
となるため、 区間［Ｘｉ−１、Ｘｉ］のひもの位置エネルギーはρＬｉ（Ｙｉ＋Ｙｉ-1）/２となり
ます。したがって、ひも全体の位置エネルギー（近似）は、
ΣρＬｉ（Ｙｉ＋Ｙｉ-1）/２ （ｉ：１→Ｎ）
と得られます。この位置エネルギーに関して最小値を持つ点の組み合わせを、結局
、この問題の解とする訳です。 シミュレーションの収束性を高める為に、 ひもの形状
に対称性を取り入れています。 つまり、ひもの形状は次の三つの原則で決定される
ことになります。
・ひもの長さ一定 ・位置エネルギー最小 ・対称性
これらは、中学生や高校生でも十分に理解できる内容です。とは言え、線密度にバ
ラツキがあったり、 短い棒のような曲がらない部分が連結されていてもシミュレーシ
ョンできる所が大きなメリットでしょう（解析的には、解くことがほとんど困難なケース
）。ただし、この場合は対称性を仮定できないので、シミュレーション条件を工夫した
り、シミュレーション時間を長くする必要性が出てくるかもしれません。
それでは、 十進ＢＡＳＩＣを使って重力下のひもの形状を求めるプログラムを考えて
みましょう。 ひも全体に亘って、ひもの線密度が一定であると仮定しているので、位
置エネルギーの項からρを落として比較しても問題ありません。 このプログラムに
おいて、以下の二つの外部副プログラムが重要になります。
ＨＩＭＯＬＥＮＧＴＨＣＨＥＣＫＩＮＧ（ひもの長さのチェック）
ＥＮＥＲＧＹＭＩＮＩＭＩＺＡＴＩＯＮ（位置エネルギー最小化）
最初の外部副プログラムでは、ひもの分割数が偶数の場合と奇数の場合で多少コ
ード内容を変えていますので、注意してください。図１から図３は、シミュレーション結
果です。ひもの長さを１０に固定し、両端の結び目間の長さを４、６、８と変えました。
長さの設定値に対して、誤差の許容範囲は０．０１です。 また、この条件を満足する
２００の組み合わせから、 位置エネルギーが最小なものを解として採用しています。
縦方向のグリッド間隔は、いずれの図でも１となっています。 ちなみに、 分割数は９
です。 奇数の分割数を採用したため、最下部の線分の形状が水平方向となってい
ます。
＜結び目間の長さが４の場合＞
（図１、十進ＢＡＳＩＣによる２Ｄグラフィックス）
＜結び目間の長さが６の場合＞
（図２、十進ＢＡＳＩＣによる２Ｄグラフィックス）
＜結び目間の長さが８の場合＞
（図３、十進ＢＡＳＩＣによる２Ｄグラフィックス）
課題（その１）
実際のひもを使ってひもの形状がどうなるかを確かめてみてください。 それをシミュ
レーション結果と比較することは大切です。 もし、違いがあるとすれば、その原因を
考えてみてください。
課題（その２）
上記の例では、 結び目の位置での高さは同じでした。 この高さが異なっても使える
ようにプログラムを修正してください。
課題（その３）
ひもに伸縮性がある場合も考えてみてください。 質量がある複数のバネを連結した
ものをイメージしても構いません。 この場合は、位置エネルギーの他に弾性エネル
ギーも考慮する必要がある？