答え（角、その１）
まず、図形の性質を調べてみます。 図１から判るように、三角形ＯＡＢは二等辺三
角形です。したがって、辺ＡＯと辺ＡＢの長さは等しくなっています。
AO＝AB ∠ABO＝５０°
（Functionviewで作成）
辺ＯＢの長さは、辺ＡＯ及び辺ＡＢの長さを１とすると、 ２・ＣＯＳ（５０度）となります
。
次に、 三角形ＯＢＣを使って角度を求めるための連立方程式を立てます。 その前
に、辺ＯＣの長さを求めておきます。 三角形ＯＡＣにおける辺ＯＣと辺ＯＡの長さを、
それぞれ、ＸとＹとおきます（図２参照）。
OC＝X AC＝Y
（Functionviewで作成）
すると、 以下のようなＸとＹに関する連立方程式が得られます。 但し、辺ＯＡの長さ
を１として計算しています。
X COS８０°＋Y COS６０°＝１ X SIN８０°＝Y SIN６０°
これらを、ＸとＹについて解いた結果を以下に示します。ここでは、三角関数の加法
定理を使って解の形を簡単化しています。
X＝SIN６０°/ COS５０° Y＝SIN８０°/ COS５０°
これで準備はできたので、 角度を求めるための連立方程式を得ることを考えましょ
ょう（図３参照）。
BC＝ａ ∠CBD＝ｂ°
（Functionviewで作成）
辺ＢＣをa、角ＣＢＤをbとおいて連立方程式を立てます。 辺ＡＯと辺ＢＤは互いに平
行にとっています。 点Ｏを座標の原点として、辺ＯＡ方向をx軸に、それと垂直な方
向をy軸とします。 そうすると、点Ｃの座標は考えるルートによって記述が違ってき
ます。点Ｏから直接、点Ｃに向かうルートに関しては、
X座標： SIN６０°COS８０°/ COS５０°
Y座標： SIN６０°SIN８０°/ COS５０°
となります。また、点Ｏから点Ｂを経由して点Ｃに向かうルートに関しては、
X座標： ２ COS２５０°−ａ COSｂ
Y座標： ２ SIN５０°COS５０°＋ａ SINｂ
となります。 それぞれの座標の値は等しくなるので、aとbに関する連立方程式がで
きます。aを消去して、bについて整理すると以下の式が得られます。
TANｂ＝SINｂ / COSｂ
＝（SIN６０°SIN８０°−SIN１００°COS５０°）/（２ COS３５０°−
−SIN６０°COS８０°）
加法定理を使って多少変形しているので、 注意してください。 さらに加法定理を使
って、分子と分母をＳＩＮ５０度、ＣＯS５０度そして数字だけで表現すると、
TANｂ＝｛ SIN５０°＋（３）１/２ COS５０°−１｝/ （３）１/２ { SIN５０°＋
（３）１/２ COS５０°−１｝＝１/（３）１/２
となります。 以上から、角ＣＢＤの大きさが３０度であることが判ります。ゆえに、求
めるＭとＮの大きさは、それぞれ、３０度、８０度であるという結論が得られます。