空気分子の平均速度の導出
空気分子の平均速度を導出してみましょう。まず、圧力の計算から始めます。 図１
は一辺の長さがＬの立方体ＡＢＣＤ−ＥＦＧＨです。この立方体の一つの面ＡＢＣＤ
に働く圧力を計算してみます。 この面に垂直な方向の分子の平均速度をＵとすれ
ば、分子一個が面にぶつかって跳ね返ったときの運動量の変化は、
空気分子の速度： Ｕ（衝突前） −Ｕ（衝突後）
空気分子の運動量変化： −２ｍａｉｒＵ
となります。 ここで、ｍａｉｒは空気分子の一個の質量であり、空気分子と面との衝突
は完全な弾性衝突としました。 また、単位時間当たりの分子一個の面に対する衝
突回数は、
衝突回数（分子一個）： Ｕ/２Ｌ
で与えられるので、面が分子一個から受ける力Ｆは、
Ｆ＝Δｐ/Δｔ＝（２ｍａｉｒＵ）・（Ｕ/２Ｌ）＝ｍａｉｒＵ２/ Ｌ
となります。Δｐは分子一個分の運動量変化の大きさを表しています。 立方体内の
全分子数をＮａｉｒとすると、面に作用する圧力Ｐは最終的に、
Ｐ＝Ｆ/Ｓ＝Ｎａｉｒ・（ｍａｉｒＵ２/ＳＬ）＝ＮａｉｒｍａｉｒＵ２/ Ｌ３
となります。Ｌ３を左辺に移動しＶ＝Ｌ３であることに注意すると、
ＰＬ３＝ＮａｉｒｍａｉｒＵ２ → ＰＶ＝ＮａｉｒｍａｉｒＵ２・・・・・（１）
が得られます。一方、ＰＶは状態方程式を使って次のようにも記述できるので、
ＰＶ＝ｎＲＴ・・・・・（２）
ここで、ｎは気体のモル数、Ｒは気体定数、そして、Ｔは絶対温度です。 （１）と（２）
の右辺同士は等しいため、結局、
ＮａｉｒｍａｉｒＵ２＝ｎＲＴ
が得られます。ｎ・ＮＡ＝Ｎａｉｒ（ＮＡはアボガドロ数）であることにさらに注意すれば、
ｍａｉｒＵ２＝（Ｒ/ＮＡ）Ｔ＝ＫＴ
となり、当初の目的は達成されました。
各辺の長さ → Ｌ
（図１、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
上記で示した状態方程式に現れる気体定数を実験的に求めてください。 Ｐ、Ｖ、Ｔ
を測定して、ｎさえ判れば状態方程式から気体定数を計算できます。 アボガドロ数
の求め方も考えてみてください。 これが判れば、これらの二つの数からボルツマン
定数も計算できることになります。
ファン・デル・ワールスの状態方程式
理想気体の状態方程式は、 分子に大きさがなく分子間相互作用を無視できると
きに適用できる式です。 実際の気体には、 この式に修正を加えたファン・デル・ワ
ールスの状態方程式を使います。
（Ｐ＋ａｎ２/ Ｖ２）（Ｖ−ｎｂ）＝ｎＲＴ
ここで、ａとｂは気体の種類によって決まる定数です。 それでは、 この式を物理的に
導出してください。また、欠点があるとすれば、それはどこにありますか。