曲面の面積の積分（一般式）

曲面の面積を計算する積分の一般式を求めてみましょう。簡単な例として、球の表

面を使って考えてみます（ 図１参照 ）。 考え方は、曲線の長さを計算する積分の一

般式のところで使った曲線の線分による近似とほぼ同じものになります。 ただし、

面積の計算ではＸ方向とＹ方向の二つの方向で近似を行います。

曲面の式：　Ｚ＝Ｆ（Ｘ、Ｙ）

Ｘ方向のＺ値の変化量：　ΔＺ＝Ｆ_Ｘ ΔＸ （近似）

Ｙ方向のＺ値の変化量：　ΔＺ＝Ｆ_Ｙ ΔＹ （近似）

上の二式において、  Ｆ_ＸとＦ_ＹはＺ＝Ｆ（Ｘ、Ｙ）をＸとＹについて偏微分したものです。

球の場合には、Ｆ_ＸとＦ_Ｙは次のようになります。

球の式：　Ｘ^２＋Ｙ^２＋Ｚ^２＝Ｒ^２

Ｆ_Ｘ＝−Ｘ / Ｚ　　Ｆ_Ｙ＝−Ｙ / Ｚ

ＥＦ→ΔＸ　　ＥＨ→ΔＹ

（Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）

それでは、曲面上の微小な面積ＡＢＣＤ、ΔＳを求めてみましょう。これを四角形ＡＢ

ＣＤで近似します。四角形ＡＢＣＤの面積はベクトルの外積を使って、

ΔＳ＝| ＡＢ Ｘ ＡＤ | （近似）

となります。ここで、ＡＢ とＡＤ の成分表示は以下のようになります。

ＡＢ ＝（ΔＸ、０、Ｆ_ＸΔＸ）　　ＡＤ ＝（０、ΔＹ、Ｆ_ＹΔＹ）

→ＡＢ Ｘ ＡＤ ＝（−Ｆ_ＸΔＸΔＹ、−Ｆ_ＹΔＸΔＹ、ΔＸΔＹ）

したがって、上記のΔＳは、

ΔＳ＝（１＋Ｆ_Ｘ^２＋Ｆ_Ｙ^２）^１/２ ΔＸΔＹ

となります。これらの微小な面積をすべて足し合わせると、

Ｓ＝∫∫（１＋Ｆ_Ｘ^２＋Ｆ_Ｙ^２）^１/２ ｄＸ ｄＹ

となり、曲面の面積を表す積分の一般式（二重積分）となります。

球の表面を含めて、 多くの曲面に関して上記の積分を解析的に行うのはそれほど

簡単ではないので、 曲面の特殊な例である傾いた平面で積分を計算してみます（

図２参照）。

平面の式：　Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝１

（Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）

この例では、Ｆ_Ｘ＝−１であり、Ｆ_Ｙ＝−１であるので、

Ｓ＝（３）^１/２∫∫ｄＸ ｄＹ＝（3）^１/２/ ２

積分の範囲は、Ｘが０から１までであり、Ｙが０から１−Ｘまでとなります。 上記の値

は一辺の長さがルート２の正三角形の面積と同じものとなっています。

半径が１の球の場合は、

Ｓ＝∫∫ ｄＸ ｄＹ / （１−Ｘ^２−Ｙ^２）^１/２

となり、積分の範囲はＸが０から１までであり、Ｙが０から（１−Ｘ^２）^１/２までとなりま

す。この積分の数値計算を行うときは、球の赤道近辺で勾配がきつくなるので注意

してください。あまり赤道近辺まで近付き過ぎると、誤差が大きくなって解の収束性

が悪くなります。

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