極座標での運動方程式

XとYを極座標で表すと、以下のようになります。

X＝R COSθ　　　　Y＝R SINθ

両式を ｔ に関して微分すると、

ｄX/ｄｔ＝（ｄR/ｄｔ）COSθ−（ｄθ/ｄｔ）R SINθ

さらに、ｔ に関して微分すると、

−（ｄ^２θ/ｄｔ^２）R SINθ−（ｄθ/ｄｔ）^２R COSθ

以上の結果を使って、惑星１に関する運動方程式を書き換えると、

（ｄ^２R/ｄｔ^２）COSθ−２（ｄR/ｄｔ）（ｄθ/ｄｔ）SINθ−（ｄ^２θ/ｄｔ^２）R SINθ

−（ｄθ/ｄｔ）^２R COSθ＝−Ｍ_ＳG （COSθ）/R^２

−（ｄθ/ｄｔ）^２R SINθ＝−Ｍ_ＳG （SINθ）/R^２

第一番目の式にCOSθを掛け、第二番目の式にSINθを掛けて足すと、

（ｄ^２R/ｄｔ^２）COS^２θ＋（ｄ^２R/ｄｔ^２）SIN^２θ−（ｄθ/ｄｔ）^２R COS^２θ

−（ｄθ/ｄｔ）^２R SIN^２θ＝−Ｍ_ＳG （COS^２θ）/R^２−Ｍ_ＳG （SIN^２θ）/R^２

これを整理すると、

ｄ^２R/ｄｔ^２＋Ｍ_Ｓ G/R^２＝（ｄθ/ｄｔ）^２R

ゆえに、

（ｄ^２R/ｄｔ^２）/R＋Ｍ_Ｓ G/R^３＝（ｄθ/ｄｔ）^２

となります。円軌道の場合は、Rが一定であり ｄθ/ｄｔ がωとなるので、この式はケプ

ラーの第三法則そのものになります。 楕円軌道の場合、 どのような条件下でこの法

則が正しくなるかも考えてみてください。

を引いて整理すると、

２（ｄR/ｄｔ）（ｄθ/ｄｔ）＋（ｄ^２θ/ｄｔ^２）R＝０

よって、

２（ｄR/ｄｔ）/R＝−（ｄ^２θ/ｄｔ^２）/（ｄθ/ｄｔ）

が得られます。この統合された微分方程式の物理的な解釈はどうなりますか。

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