球の中心間方向の速度成分

微小時間Δt 内に球Ａが球Ｂとの衝突によって受ける力をＦ_ＢＡ、逆に球Ｂが受ける

力をＦ_ＡＢとすると、球Ａと球Ｂの運動量変化（中心間方向）は、

球Ａ： ΔＰ_ＡＣＣ＝Ｆ_ＢＡ Δｔ

球Ｂ： ΔＰ_ＢＣＣ＝Ｆ_ＡＢ Δｔ

ここで、力の作用・反作用の法則からＦ_ＢＡ＝−Ｆ_ＡＢであることに注意すると、

ΔＰ_ＡＣＣ＋ΔＰ_ＢＣＣ＝（Ｆ_ＢＡ＋Ｆ_ＡＢ）Δt ＝０

となります。 つまり、球Ａと球Ｂの中心間方向の運動量成分の和が保存されるこ

とが判ります。 一方、 上記の方向と垂直な方向には力は働きません。したがって、

球Ａと球Ｂのその方向の速度成分は衝突前後で変化しません。

では、衝突後の球Ａと球Ｂの速度成分を計算してみます。まず、衝突前の速度成分

を確認しておきます。

Ｘ方向（球Ａ）： −Ｖ_Ａ

Ｙ方向（球Ａ）： ０

Ｘ方向（球Ｂ）： Ｖ_Ｂ

Ｙ方向（球Ｂ）： ０

球の中心間方向に対して垂直な方向の速度成分は変わらないので、

垂直方向（球Ａ）； Ｖ_Ａ ＳＩＮφ

垂直方向（球Ｂ）： −Ｖ_Ｂ ＳＩＮφ

この場合、左上方向を＋方向としています。 中心間方向の成分は、運動量保存則

とエネルギー保存則を使って求めます。 球Ａのこの方向の速度成分をＶ_ＡＣＣとし、

球Ｂの成分をＶ_ＢＣＣとすると（右上方向を＋方向にとる）、

運動量保存則： Ｍ（Ｖ_Ｂ−Ｖ_Ａ）・ＣＯＳφ＝Ｍ（Ｖ_ＡＣＣ＋Ｖ_ＢＣＣ）

→ （Ｖ_Ｂ−Ｖ_Ａ）・ＣＯＳφ＝Ｖ_ＡＣＣ＋Ｖ_ＢＣＣ

エネルギー保存則： Ｍ（Ｖ_Ａ^２＋Ｖ_Ｂ^２）/２＝

｛ Ｍ（Ｖ_Ａ^２＋Ｖ_Ｂ^２）/２ ｝・ＳＩＮ^２φ＋Ｍ（Ｖ^２_ＡＣＣ＋Ｖ^２_ＢＣＣ）/２

→ （Ｖ_Ａ^２＋Ｖ_Ｂ^２）・ＣＯＳ^２φ＝Ｖ^２_ＡＣＣ＋Ｖ^２_ＢＣＣ

運動量保存則の式をＶ_ＢＣＣについて解いて、エネルギー保存則の式に代入して整

理すると、

Ｖ^２_ＡＣＣ−Ｖ_ＡＣＣ（Ｖ_Ｂ−Ｖ_Ａ）− Ｖ_ＡＶ_Ｂ・ＣＯＳ^２φ＝０

→ （Ｖ_ＡＣＣ＋Ｖ_Ａ・ＣＯＳφ）・（Ｖ_ＡＣＣ−Ｖ_Ｂ・ＣＯＳφ）＝０

よって、Ｖ_ＡＣＣ＝Ｖ_Ｂ・ＣＯＳφとなります（そして、Ｖ_ＢＣＣ＝−Ｖ_Ａ・ＣＯＳφ）。すな

わち、中心間方向の速度成分が入れ替わることが判ります。

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