球に関する問題（その２）
正多面体の体積と表面積を求めてみてください。正四面体・正六面体・正八面体
ぐらいまでは比較的簡単に求まるかもしれませんが、正十二面体・正二十面体は
どうでしょうか。正多面体を構成する正多角形の一辺の長さを１とします。 また、正
多面体に内接するまたは外接する球が存在する場合は、その球の半径を求めて
みてください。
１．正四面体
正四面体の各面は正三角形からできているので、 正四面体の表面積は正三角形
の面積（ルート３/４）Ｘ４ということになります。
表面積： ルート３
次に、 正四面体の体積を計算してみます。 底面積は正三角形の面積になるので、
ルート３/４となります。 正四面体の高さは、 球に関する問題（その１）の結果を使っ
て、ルート６/３となります。体積は、底面積Ｘ高さ/３であるので、
体積： ルート２/１２
三番目に、内接する球の半径を求めてみます。 正四面体を真上からみると（図１参
照）、 底面の正三角形の中心と球の投影された円の中心は一致します。 また、正
四面体の頂点と正三角形の中心を結んだ線上に、球の中心もあることは明白なの
で、この線を含む形で正四面体を割ったものを図２に示します。
＜正四面体と内接球を真上から見た図＞
（図１、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
＜図１の点線部分でカットした断面図＞
（図２、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
図２において、 ＥＦ＝ルート３/６、ＤＦ＝ルート６/３、ＤＥ＝ＢＥ＝ルート３/２です。 ま
た、三角形ＤＥＦと三角形ＤＯＧは相似な直角三角形であるので、
ＥＦ：ＤＦ＝ＯＧ（内接球の半径）：ＤＧ
→ （ルート３/６）：（ルート６/３）＝ＯＧ：（ルート３/３）
上の比の式からＯＧを計算すると、ＯＧ＝ルート６/１２となります。
半径（内接球）： ルート６/１２
最後に、外接する球の半径を求めます。 図２において、ＢＯ（外接球の半径）＝ＤＯ
＝ルート６/４です。 外接球の中心と内接球の中心が完全に重なることに注意して
ください。
半径（外接球）： ルート６/４
２．正六面体
正六面体の場合は、比較的簡単に計算できます。一辺の長さが１の正方形で 六面
とも構成されているので、表面積は１Ｘ１Ｘ６です。
表面積： ６
体積も簡単に計算できます。体積（一辺の長さが１の立方体の体積）は１Ｘ１Ｘ１です
。
体積： １
内接する球の半径を求めてみます。上下、左右、前後の面とも平行であるので、そ
れぞれの組の正方形から等しい距離にある三つの中間平面が交わった点を 球の
中心にすれば良いはずです。したがって、内接円の半径は一辺の長さを２で割った
値になります。
半径（内接球）： １/２
次に、外接する球の半径を求めてみます。 この場合は、 各点の対角にある点との
線分を引いて、その中点を球の中心にすれば良いはずです。 この点から六面体の
各頂点までの距離は等しくなります。 対角線の長さはルート３であるので、 その半
分の長さが半径になります。外接球の中心と内接球の中心も完全に重なります。
半径（外接球）： ルート３/２