球に関する陰線処理プログラム
球の３Ｄ描画図を陰線処理することを考えます。まずは、緯度線と経度線上にある
見える点と見えない点を区別する方法を検討しましょう。図１は、視点と球そして投
影する二次元平面を示しています。 視点から球面へ向かって接線を引きます。 こ
のときの接点を点Ａとします。 視点の方向をＹ軸の＋方向としているので、 この方
向の単位ベクトルは（０、１、０）となります。一方、接点Ａの座標を（Ｘ，Ｙ、Ｚ）とする
と、接点方向を向く単位ベクトルは、
（ Ｘ / Ｒ、Ｙ / Ｒ、Ｚ / Ｒ ） ここで、Ｒ＝（Ｘ２＋Ｙ２＋Ｚ２）１/２
となります。上記の二つの単位ベクトルの内積を計算すると、
内積の値（Ｋ）＝Ｙ / （Ｘ２＋Ｙ２＋Ｚ２）１/２
となります。二つのベクトルをＢ とＣ とすると、内積は
Ｂ ・Ｃ ＝|Ｂ | |Ｃ | ＣＯＳψ
でも与えられます。 ここで、絶対値記号はベクトルの大きさを示しています。 また、
ψは二つのベクトルの挟む角です。したがって、内積の値は０度から１８０度の範囲
で単調に減少することが判ります。 以上より、上記で計算した単位ベクトル間の内
積の値が陰線処理の判断基準となります。
＜球の中心が原点＞
（図１、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
緯度線と経度線上にある点の方向を向く単位ベクトルと視点方向を向く単位ベクト
ルの内積の値をＳＰとすると、
（１）ＳＰがＫ以上ならば、陰線処理をしない
（２）ＳＰがＫ未満ならば、陰線処理をする
という結論になります。 それでは、 この点を考慮した陰線処理のプログラム（外部
副プログラム）を作ってみます。その為には、Ｋの値を計算しなければなりません。
図２は、図１のＹ−Ｚ平面の様子を示したものです。 球の半径がＲで、 視点の座標
が（０、ＹＶ、０）であるので、 二つの直角三角形（ＡＢＯとＣＡＯ）の相似比から、
ＡＢ：ＢＯ：ＯＡ＝ＣＡ：ＡＯ：ＯＣ
→ （ＹＶ２−Ｒ２）１/２：ＹＶ：Ｒ＝ＣＡ：Ｒ：ＯＣ
が得られます。ゆえに、ＣＡとＯＣの長さは、
ＣＡ＝（ Ｒ / ＹＶ）（ＹＶ２−Ｒ２）１/２
ＯＣ＝Ｒ２/ ＹＶ
となり、この関係から接点方向の単位ベクトルは、
（０、Ｒ / ＹＶ、（１/ ＹＶ）（ＹＶ２−Ｒ２）１/２）
となります。よって、Ｋの値は以下のように求まります。
Ｋ＝Ｒ / ＹＶ
＜光の直進性から、視点側からは接点を超えた領域は見えない＞
（図２、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
以下の図は、上記のＫの値を使って陰線処理した球の３Ｄ描画図です（図３参照）。
＜θ＝４５度、φ＝４５度の方向から見た場合＞
（図３、十進ＢＡＳＩＣによる３Ｄグラフィックス）
より近い位置から見た場合の図も示して置きます（図４参照）。
＜θ＝４５度、φ＝４５度の方向から見た場合＞
（図４、十進ＢＡＳＩＣによる３Ｄグラフィックス）
課題（その１）
ドーナツ形状の陰線処理の方法を考えてください。 また、 そこで得た陰線処理の
方法を一般化してください（もし可能ならば）。
最後に、球に関する陰線処理のプログラムコードの主要部分を示します。
図形に関する座標値の計算・回転変換の外部副プログラムは省略します。
図形に関する投影および座標軸に関する回転変換・投影・描画の外部副プログラ
ムも省略します。
