転がる球に関する運動方程式
図１は転がる球に働く力を示したものです。 ＯＧ は球に働く重力、ＳＮ は球が斜面
から受ける垂直抗力、そして、ＳＣ は球が斜面から受ける摩擦力です。 したがって
、 斜面と平行な方向の重力成分ＯＡはＭＧ・ＳＩＮαであり、 斜面と垂直な方向の
重力成分ＯＢはＭＧ・ＣＯＳαとなります。また、摩擦力の大きさをＦｓとします。
＜∠ＤＥＦ＝α＞
（図１、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
まず、斜面と平行な方向の運動方程式を考えましょう。球に働く力は重力の斜面と
平行な方向の成分と摩擦力だけなので、
Ｍ・ｄ２Ｘ/ｄｔ２＝Ｍ・ｄＶ/ｄｔ＝ＭＧ・ＳＩＮα−Ｆｓ
となります。ここで、Ｘの＋方向は球が斜面を滑り降りる方向に取っています。
回転運動に関する運動方程式を導いてみます。Ｚ軸からＲの距離にある質量ｍの
物体が力Ｆを受けて回転運動をしている様子を想像してください。この場合の運動
方程式はｍｄＶ/ｄｔ＝Ｆですが、慣性モーメントがＩ＝ｍＲ２であり、Ｖ＝Ｒωである
ことを考慮して書き換えると、
（Ｉ/Ｒ）・（ｄω/ｄｔ）＝Ｆ
となります。これが回転運動の運動方程式です。但し、両辺にＲを掛けて、
Ｉ・ｄω/ｄｔ＝ＦＲ（力のモーメント）
の形にしたものの方がより一般的です。では、球の問題にもどります。球の慣性モ
ーメントは２ＭＲ２/５であり（距離Ｒの位置に質量２Ｍ/５の物体がある場合と等価
）、摩擦力が回転運動の力になります。よって、
（２ＭＲ/５）・（ｄω/ｄｔ）＝（２Ｍ/５）・（ｄＶ/ｄｔ）＝Ｆｓ
が得られます。これらの二つの運動方程式を整理すると、
Ｍ・ｄＶ/ｄｔ＝ＭＧ・ＳＩＮα−（２Ｍ/５）・（ｄＶ/ｄｔ）
→ （７Ｍ/５）・（ｄＶ/ｄｔ）＝ＭＧ・ＳＩＮα
→ ｄＶ/ｄｔ＝（５Ｇ/７）・ＳＩＮα
以上から、球の斜面と平行な方向の加速度は（５Ｇ/７）・ＳＩＮαとなります。
課題（その１）
円筒形の物体が、斜面を滑らずに転がる場合の斜面と平行な方向の加速度を求
めてください。