ネット変形型の抵抗の計算
抵抗値の上限を評価するために、抵抗網の一部のみを考慮した場合の計算を行い
ます（図１参照）。この場合、３Ｒの抵抗が並列に接続された形になっています。よっ
て、点Ａと点Ｂから見たときの抵抗値ＲＡＢは、
ＲＡＢ＝１/（１/３Ｒ＋１/３Ｒ）＝３Ｒ/２
となります。
＜抵抗値は全てＲ＞
（図１、十進ＢＡＳＩＣによる２Ｄグラフィックス）
それでは、 もう少し抵抗の数を増やして抵抗値を計算します（図２参照）。 電流が流
れる経路が増加するので、 ＲＡＢの値も当然小さくなります。 各部を流れる電流を回
路の対称性を利用しつつ分類します。
Ｉ１＝ＩＡＣ＝ＩＡＥ＝ＩＤＢ＝ＩＦＢ
Ｉ２＝ＩＡＧ＝ＩＨＢ
Ｉ３＝ＩＧＩ＝ＩＧＫ＝ＩＩＣ＝ＩＫＥ＝ＩＤＪ＝ＩＦＬ＝ＩＪＨ＝ＩＬＨ
Ｉ４＝ＩＣＤ＝ＩＥＦ
点Ａと点Ｂの間を流れる全電流を Ｉ とすると、
Ｉ＝２Ｉ１＋Ｉ２、Ｉ２＝２Ｉ３、Ｉ１＋Ｉ３＝Ｉ４
が得られます。また、点Ａと点Ｃの間の電圧を考えると、
Ｉ１Ｒ＝Ｉ２Ｒ＋２ Ｉ３Ｒ → Ｉ１＝Ｉ２＋２ Ｉ３
これらの四つの式を連立方程式として解いて、
Ｉ１＝２ Ｉ/５、Ｉ２＝Ｉ/５、Ｉ３＝Ｉ/１０、Ｉ４＝Ｉ/２
を得ます。
＜抵抗値は全てＲ＞
（図２、十進ＢＡＳＩＣによる２Ｄグラフィックス）
ゆえに、点Ａと点Ｂの間の電圧ＶＡＢは、
ＶＡＢ＝２（２ Ｉ/５）Ｒ＋（Ｉ/２）Ｒ＝（４ Ｉ/５＋Ｉ/２）Ｒ＝（１３ Ｉ/１０）Ｒ
＝（１３Ｒ/１０） Ｉ
となり、点Ａと点Ｂから見た抵抗の値は１３Ｒ/１０であることが判ります。 この値がＲ
を下回るかどうかを検討してみます。 図２の回路にさらに１４個の抵抗を追加すると
、図３のような回路になります。
＜抵抗値は全てＲ＞
（図３、十進ＢＡＳＩＣによる２Ｄグラフィックス）
回路の対称性に注意し、各部を流れる電流を分類します。
Ｉ１＝ＩＡＣ＝ＩＡＥ＝ＩＤＢ＝ＩＦＢ
Ｉ２＝ＩＡＧ＝ＩＨＢ
Ｉ３＝ＩＧＩ＝ＩＧＫ＝ＩＪＨ＝ＩＬＨ
Ｉ４＝ＩＩＣ＝ＩＫＥ＝ＩＤＪ＝ＩＦＬ
Ｉ５＝ＩＩＱ＝ＩＫＳ＝ＩＱＭ＝ＩＳＯ＝ＩＮＲ＝ＩＰＴ＝ＩＲＪ＝ＩＴＬ
Ｉ６＝ＩＣＭ＝ＩＥＯ＝ＩＮＤ＝ＩＰＦ
Ｉ７＝ＩＣＤ＝ＩＥＦ
Ｉ８＝ＩＭＮ＝ＩＯＰ
点Ａと点Ｂの間に流れる全電流を Ｉ とすると、 各部を流れる電流には次のような関
係があります。
Ｉ＝２ Ｉ１＋Ｉ２、Ｉ２＝２ Ｉ３、Ｉ３＝Ｉ４＋Ｉ５、Ｉ１＋Ｉ４＝Ｉ６＋Ｉ７、Ｉ５＋Ｉ６＝Ｉ８
また、点Ａと点Ｃの間に加わる電圧ＶＡＣから、
ＶＡＣ＝Ｉ１Ｒ＝Ｉ２Ｒ＋Ｉ３Ｒ＋Ｉ４Ｒ → Ｉ１＝Ｉ２＋Ｉ３＋Ｉ４
そして、点 Ｉ と点Ｍの間に加わる電圧ＶＩＭから、
ＶＩＭ＝２ Ｉ５Ｒ＝Ｉ４Ｒ＋Ｉ６Ｒ → ２ Ｉ５＝Ｉ４＋Ｉ６
さらに、点Ｃと点Ｄの間に加わる電圧ＶＣＤから、
ＶＣＤ＝２ Ｉ６Ｒ＋Ｉ８Ｒ＝Ｉ７Ｒ → ２ Ｉ６＋Ｉ８＝Ｉ７
以上の八つの式を連立方程式として解くと、
Ｉ１＝１７ Ｉ/４４、Ｉ２＝５ Ｉ/２２、Ｉ３＝５ Ｉ/４４、Ｉ４＝Ｉ/２２、Ｉ５＝３ Ｉ/４４、Ｉ６＝Ｉ/１１
Ｉ７＝１５ Ｉ/４４、Ｉ８＝７ Ｉ/４４
が得られます。従って、点Ａと点Ｂの間の電圧ＶＡＢは、
ＶＡＢ＝２ Ｉ１Ｒ＋Ｉ７Ｒ＝（１７ Ｉ/２２＋１５ Ｉ/４４）Ｒ＝（４９ Ｉ/４４）Ｒ
＝（４９Ｒ/４４） Ｉ
となり、 点Ａと点Ｂから見た抵抗の値は４９Ｒ/４４となります。 ネットに接続される抵
抗の数が増えると抵抗値がＲに徐々に近付いて行くことが予想されます。
課題（その１）
図３の回路を一回り及び二回り大きくして抵抗値ＲＡＢを計算してください。
課題（その２）
抵抗値ＲＡＢが最終的にＲに収束することを証明してください。無限数列のテクニック
を使っても良いですし、その他の方法で証明しても構いません。
課題（その３）
同じ抵抗値を持つ抵抗素子を使って図３の回路を組んでください。 さらに、電源を用
いて端子Ａと端子Ｂの間に電圧を加えて その端子間に流れる電流を測定してくださ
い。電圧と電流の関係をグラフにしその勾配からＲＡＢを計算してください。
注意：抵抗素子には許容電力があります。これを超えると発熱やダメージの原因に
なります。また、電源の取り扱いにも注意してください（感電など）。