二重振り子の問題
一般的な振り子の重りの先に、 もう一つの振り子が付いている場合を考えましょう。
＜糸の長さと重りの質量がそれぞれ等しい例＞
（図１、二重振り子）
水平方向（右向き）をＸ軸の＋方向、垂直方向（下向き）をＹ軸の＋方向とします。 上
側の振り子の重りの重心座標を（Ｘ１、Ｙ１）、下側の振り子の重りの重心座標を（Ｘ２
、Ｙ２）とします。また、問題を一般化するため、上側の糸の長さをＬ１そして重りの質
量をＭ１、 下側の糸の長さをＬ２そして重りの質量をＭ２と置いて考えます。 さらに、
上側の糸に働く張力をＴ１、下側の糸に働く張力をＴ２、重量加速度をＧとしています
。まず、Ｘ１、Ｙ１、Ｘ２、Ｙ２、θ１、θ２の関係式として、
Ｘ１＝Ｌ１ ＳＩＮθ１ Ｙ１＝Ｌ１ ＣＯＳθ１
Ｘ２＝Ｘ１＋Ｌ２ ＳＩＮθ２ Ｙ２＝Ｙ１＋Ｌ２ ＣＯＳθ２
の四式が得られます。次に、運動方程式を考えます。上側の重りに関する運動方程
式は、
上側（Ｘ方向）->Ｍ１・（ｄ２Ｘ１/ ｄｔ２）＝−Ｔ１ＳＩＮθ１＋Ｔ２ＳＩＮθ２
上側（Ｙ方向）->Ｍ１・（ｄ２Ｙ１/ ｄｔ２）＝Ｍ１Ｇ−Ｔ１ＣＯＳθ１＋Ｔ２ＣＯＳθ２
また、下側の重りに関する運動方程式は、
下側（Ｘ方向）->Ｍ２・（ｄ２Ｘ２/ ｄｔ２）＝−Ｔ２ＳＩＮθ２
下側（Ｙ方向）->Ｍ２・（ｄ２Ｙ２/ ｄｔ２）＝Ｍ２Ｇ−Ｔ２ＣＯＳθ２
となります。 これで、Ｘ１、Ｙ１、Ｘ２、Ｙ２、Ｔ１、Ｔ２、θ１、θ２の八つの未知数に対して
八つの式が得られました。 これらを解析的に解くのは難しいので、初期条件を入れ
て数値的に解くことになります。
問題を簡単化するために、単純な振り子と同様にθ１とθ２は十分に小さいとします
。すると、最初の四式は以下のようになります。
近似
Ｘ１＝Ｌ１θ１ Ｙ１＝Ｌ１ Ｘ２＝Ｘ１＋Ｌ２θ２ Ｙ２＝Ｙ１＋Ｌ２
-> Ｘ１＝Ｌ１θ１ Ｙ１＝Ｌ１ Ｘ２＝Ｌ１θ１＋Ｌ２θ２ Ｙ２＝Ｌ１＋Ｌ２
これらの式を運動方程式に代入すると、
近似
上側（Ｘ方向）->Ｍ１Ｌ１・（ｄ２θ１/ｄｔ２）＝−Ｔ１θ１＋Ｔ２θ２
上側（Ｙ方向）->０＝Ｍ１Ｇ−Ｔ１＋Ｔ２
下側（Ｘ方向）->Ｍ２｛ Ｌ１・（ｄ２θ１/ｄｔ２）＋Ｌ２・（ｄ２θ２/ｄｔ２） ｝＝−Ｔ２θ２
下側（Ｙ方向）->０＝Ｍ２Ｇ−Ｔ２
二番目の式と四番目の式を解くと、Ｔ１＝（Ｍ１＋Ｍ２）ＧとＴ２＝Ｍ２Ｇが得られます。
これらの値を一番目の式と三番目の式に代入して、
近似
Ｍ１Ｌ１・（ｄ２θ１/ ｄｔ２）＝−（Ｍ１＋Ｍ２）Ｇ θ１＋Ｍ２Ｇ θ２
Ｍ２｛ Ｌ１・（ｄ２θ１/ ｄｔ２）＋Ｌ２・（ｄ２θ２/ ｄｔ２） ｝＝−Ｍ２Ｇ θ２
が得られます。 さらに、Ｌ１＝Ｌ２＝ＬそしてＭ１<<Ｍ２＝Ｍを仮定すると、一番目の
式はＭ１に関する項が消えてθ１＝θ２（＝θ）となります。 この結果を二番目の式
に代入して、
２ＭＬ・（ｄ２θ/ ｄｔ２）＝−ＭＧ θ（近似）
つまり、長さが２Ｌの単純な振り子のように振舞います（極めてリーズナブルな結果
）。
課題（その１）
Ｌ１＝Ｌ２＝ＬそしてＭ１>>Ｍ２の逆の場合にはどうなるかを考えてください。 勿論、
θ１とθ２は十分に小さいとします。
課題（その２）
Ｌ１＝Ｌ２＝ＬそしてＭ１＝Ｍ２＝Ｍの場合について、元の連立微分方程式を数値的
にフルに解いてください。 もし可能ならば、 計算結果を使って二重振り子のアニメー
ションを作成してください。θ１とθ２が十分に小さいと仮定した場合と比較してくださ
い。