力学的エネルギーの保存則の導出
前ページで示した力学的エネルギーの保存則を運動方程式を使って導出してみま
しょう。惑星の運動方程式をベクトル表示で書くと、
ｍ ｄＶ /ｄｔ＝−ｍＭＧ Ｒ /Ｒ３
上式の両辺とＶ との間で内積を取り、
ｍＶ ・ｄＶ /ｄｔ＝−ｍＭＧＶ ・Ｒ /Ｒ３（Ｖ ＝ｄＲ /ｄｔに注意）
→ ｍ ｄ（Ｖ ・Ｖ /２）/ｄｔ＝−ｍＭＧ｛ ｄ（Ｒ ・Ｒ /２）/ｄｔ ｝/Ｒ３
→ ｍ ｄ（Ｖ２/２）/ｄｔ＝−ｍＭＧ｛ ｄ（Ｒ２/２）/ｄｔ ｝/Ｒ３
→ ｍ ｄ（Ｖ２/２）/ｄｔ＝−ｍＭＧ｛ Ｒ ｄＲ/ｄｔ ｝/Ｒ３
→ ｍ ｄ（Ｖ２/２）/ｄｔ＝−ｍＭＧ （ ｄＲ/ｄｔ ）/Ｒ２
→ ｍ ｄ（Ｖ２/２）/ｄｔ＝ｍＭＧ ｄ（１/Ｒ）/ｄｔ
最後の式の右辺を左辺に持ってきて、微分に関してまとめると、
ｄ（ｍＶ２/２−ｍＭＧ/Ｒ）/ｄｔ＝０
→ ｍＶ２/２−ｍＭＧ/Ｒ＝定数
が得られます。 上記の式で定数を全エネルギーＥで置き換えれば、当初の目的で
ある力学的エネルギーの保存則の式になります。
ｍＶ２/２−ｍＭＧ/Ｒ＝Ｅ （惑星運動に関して）
課題（その１）
地上で重力を受けて運動する物体の運動方程式は、
ｍ ｄＶ /ｄｔ＝−ｍ ｇ
で与えられます。 ここで、ｇ は重力加速度です。また、鉛直上方をＺ軸の＋方向に
取っています。上記の運動方程式を使って、以下の力学的エネルギーの保存則の
式を導いてください。
ｍ Ｖ２/２＋ｍ ｇ Ｚ＝Ｅ （落下運動に関して）