最下点における重りの速さ

振り子の最下点における重りの速さを求めてみましょう。  先に求めた近似式を使

います。θ＝θ₀の位置から振り子の重りを静かに放すとします。これから、θの式

におけるＡとＢの定数は以下のように決まります。

ｔ＝０で、θ＝θ₀そしてV＝０とすると、

A＝０　　　B＝θ₀

よって、

θ＝θ₀ COSωｔ （近似）

上式をｔに関して微分して速度を求めると、

V＝Lｄθ/ ｄｔ＝−Lθ₀ω ＳＩＮωｔ （近似）

振り子が真下に来たときが速さが最大になるときなので、 ωｔ＝π/２ から ｔ＝π/

２ωのときの速さを計算すると、

V_MAX＝Lθ₀ω＝Lθ₀ （G / L）^１/２ ＝（GLθ₀）^１/２ （近似）

上の結果はあくまでも近似的なものです。 正確な速さは力学的なエネルギーの保

存則を使って行います。

MV^２/ ２＝MGH

ここで、H＝L（１− COSθ₀）であるから、最下点での速さは、

V_最下点＝｛ ２GL（１−COSθ₀） ｝^１/２

上の結果は一見して前の近似解と違うように見えますが、ＣＯＳの項をテーラー展

開して３次の高次項以降を無視すればまったく同じ形になります。テーラー展開に

ついては別なところで説明します。

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