最短時間・最短距離
最短時間・最短距離を求める問題は、 数学だけに限ったテーマではありません。
物理学でもしばしばテーマになる問題です。以下の図は、正四面体の立体図形で
す。 線分ＡＣの中点Ｆと線分ＢＤの中点Ｅを結ぶ最短距離は、空間的に考えれば、
線分ＥＦ（赤い点線）で与えられます。 では、線分ＣＤ上の点Ｇを経由して表面上を
最短で結ぶライン（赤い線）を求めてください。このときのラインの長さはどうなりま
すか。線分ＥＦの長さと比較してみてください（図１参照）。
（Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
上の問題を少し物理的にしてみましょう。 表面上の最短距離で、三角形ＡＤＣ上お
よび三角形ＢＣＤ上を移動する速度が一定だとすると、 この問題は最短時間の問
題になります。三角形ＡＤＣ上を移動する速度が三角形ＢＣＤ上を移動する速度の
二倍になる場合、最短時間になるラインは速度一定のときとは異なってきます。そ
のラインを求めてみてください。 速度の関係が逆になった場合はどうでしょうか！
？
下図は、二つの異なる物質の界面で起こる光の屈折現象を示す図です。物質１内
を進んでくる光は物質２との界面で屈折し、光の進行方向が変わっているのが判り
ます。この原因は、物質内を進む光の速度が変化することにあります。線分ＡＢと
線分ＣＤは光の波面（平面波）を示しています。この例では、速度の比が２：１にな
っているので、 線分の長さの比がＢＤ：ＡＣ＝２：１ということになります（図２参照）
。
光の特性として、空間の最短距離ＥＦを通っていないことに注意してください。図か
ら判るように、ＥＡＦという経路を通っています。 速度が速い領域が増えていること
が判ります。つまり、光を律している原理は最短距離ではなく、最短時間だというこ
とになります。
（Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
上記で得た結論を思考実験でさらに検証してみましょう。物質２内の光の速度をさ
らに落としてみましょう。 そうすると、 上図は、以下のように修正されます。物質２
内の光の進行方向は界面に対してほぼ垂直な方向となります。したがって、光が
物質２内を進む距離は最小化されることが判ります。 このことは、 最短時間の原
則の証拠と言っても良いでしょう（図３参照）。
（Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
それでは、光がなぜ最短距離ではなく、 最短時間の原則に従っているのかを考え
てみてください。光の性質として、他の物質の性質とは異なるものがたくさんありま
す。例えば、光の速度です。質量を持つ物質は、アインシュタインの相対性理論
から、光速に近づくことは極めて困難になります。 当然、光速を超えることは想定
していません。一方、アインシュタインが導いた有名な式であるＥ＝ＭＣ２という考
え方からすれば、エネルギー (*)と質量との間には大きなギャップはないように思
われます！？ 光は本当にこの世（私たちの次元）のもの？ そして、 光は目的の
点に到達する前に、どのコースが最短時間のコースか既に判っている？
* 光は質量を持たないが、エネルギーを持つ
屈折角と光の速度の関係
二つの異なる物質間の界面で、光が屈折するときの角度を求めてみましょう。まず
は、以下の図をみてください（図４参照）。
入射角＝∠ＤＡＢ＝θ１ 屈折角＝∠ＡＤＣ＝θ２
（Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
物質１側の入射光のライン（赤）とＡを通る垂直なライン（ピンク）との間にできる角
が入射角θ１になります。一方、物質２側の屈折光のライン（赤）とＡを通る垂直な
ライン（ピンク）との間にできる角が屈折角θ２になります。これらの角と光の速度
との関係は、
Ｖ１/ Ｖ２＝ＤＢ/ＡＣ＝（ＡＤ ＳＩＮθ１）/（ＡＤ ＳＩＮθ２）＝ＳＩＮθ１/ＳＩＮθ２
となります。