三角形の面積

三角形の面積と三辺の長さの関係を導いてみましょう。 まずは、 三辺の中で一番

長い辺に向かっている頂点から、その辺に垂線を引きます（図１参照）。

＜ＡＢ＝Ｌ_１、ＢＣ＝Ｌ_２、ＣＡ＝Ｌ_３＞Ｌ_１＆Ｌ_２、ＣＡ⊥ＢＨ＞

（図１、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）

この三角形ＡＢＣの面積Ｓは、

Ｓ＝ＣＡ・ＢＨ / ２＝Ｌ_３・ＢＨ / ２

です。ここで、二つの直角三角形ＡＢＨとＣＢＨを考えます。ピタゴラスの定理を使

用しＣＨの長さをＸとおくと、次の関係が得られます。

ＢＨ^２＝ＢＣ^２−ＣＨ^２＝Ｌ_２^２−Ｘ^２　または、

ＢＨ^２＝ＡＢ^２−ＡＨ^２＝ＡＢ^２−（ＣＡ−Ｘ）^２＝Ｌ_１^２−（Ｌ_３−Ｘ）^２

上式の右辺同士は等しいので、

Ｌ_２^２−Ｘ^２＝Ｌ_１^２−（Ｌ_３−Ｘ）^２

→ Ｌ_２^２−Ｘ^２＝Ｌ_１^２−（Ｌ_３^２−２Ｌ_３Ｘ＋Ｘ^２）

→ Ｌ_２^２−Ｘ^２＝Ｌ_１^２−Ｌ_３^２＋２Ｌ_３Ｘ−Ｘ^２

→ Ｌ_２^２＋Ｌ_３^２−Ｌ_１^２＝２Ｌ_３Ｘ

となり、これをＸについて解くと

Ｘ＝（Ｌ_２^２＋Ｌ_３^２−Ｌ_１^２）/ ２Ｌ_３

が得られます。この結果から、三角形ＡＢＣの高さであるＢＨの二乗は、

ＢＨ^２＝Ｌ_２^２−（Ｌ_２^２＋Ｌ_３^２−Ｌ_１^２）^２/４Ｌ_３^２　

ゆえに、

ＢＨ＝｛４Ｌ_２^２Ｌ_３^２−（Ｌ_２^２＋Ｌ_３^２−Ｌ_１^２）^２｝^１/２/２Ｌ_３

したがって、三角形ＡＢＣの面積Ｓは、

Ｓ＝｛４Ｌ_２^２Ｌ_３^２−（Ｌ_２^２＋Ｌ_３^２−Ｌ_１^２）^２｝^１/２ /４

となります。上式で、ルートの中を因数分解すると（課題として置きます。高校生の

方はトライしてみてください）、

（Ｌ_１＋Ｌ_２＋Ｌ_３）（Ｌ_１＋Ｌ_２−Ｌ_３）（Ｌ_２＋Ｌ_３−Ｌ_１）（Ｌ_３＋Ｌ_１−Ｌ_２）

となります。さらに、ｓ＝（Ｌ_１＋Ｌ_２＋Ｌ_３）/２とおくと、最終的に、

Ｓ＝｛ｓ（ｓ−Ｌ_１）（ｓ−Ｌ_２）（ｓ−Ｌ_３）｝^１/２

というヘロンの公式が得られます。

平面だけでなく、曲面も小さな三角形の集まりに分割すれば、上記の式を使って、

面積や表面積を正確に計算できることになります。 都市部に住んでいる方は、 自

宅の敷地面積をこの方法で計算してみてください。  坪あたりの土地単価が５０万

円以上するような場所だと、自宅敷地が２００坪を超えれば、間違いなく相続税が

大きく掛かってきます。 数学の好き嫌いに拘わらず、この程度の計算はできるよう

にしておいてください。

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