三角錐の体積の計算
三角錐や四角錐そして円錐の体積を計算する方法を考えてみましょう。小学校や
中学校で習う底面積Ｘ高さ/３の１/３は一種のマジックナンバーになっていますが
、積分の方法を使えばこの数字の根拠を明確に示せます。
図１は三角錐の立体図形です。 この図形を薄い板状にスライスして積分すること
を考えます。 スライスしたときの切り口は、 底面と相似な図形になっているのでそ
の相似比（Ｈ−Ｘ）：Ｈを使って薄い板の体積を表すと、
薄い板の体積： （H−Ｘ）２ＳΔＸ / Ｈ２ （ΔＸ：板の厚さ）
ここで、Ｓは底面積であり、 ＨとＸは線分ＯＣと線分ＯＰの長さです。 したがって、体
積Ｖを計算する積分式は次のようになります。
Ｖ＝∫（H-X）２Ｓ ｄＸ/ Ｈ２＝ＳＨ/３
積分の範囲は０からＨまでです。 積分の方法を考えれば判るように、 錐体の体積
はその軸が傾いていても、底面と垂直な方向の高さが同じならば変化しないことに
注意しましょう。
（Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）