正五角形の図形的な近似計算
正五角形の周の長さを使って円の円周率を近似計算します。ＣＤの長さは
ＣＤ＝２ＣＨ＝２ＯＣ・ＳＩＮ３６°＝２Ｒ・ＳＩＮ３６°
となります（図１参照）。ＳＩＮ３６°の値は次の関係式を使って計算できます。
ＳＩＮ（３６°Ｘ５）＝ＳＩＮ１８０°＝０
上式を三角関数に関する加法定理を使って書き換えます。
ＳＩＮ（３６°Ｘ３）・ＣＯＳ（３６°Ｘ２）＋ＣＯＳ（３６°Ｘ３）・ＳＩＮ（３６°Ｘ２）＝０
また、以下の式を考慮すると、
ＳＩＮ（３６°Ｘ２）＝２ＳＩＮ３６°・ＣＯＳ３６°
ＣＯＳ（３６°Ｘ２）＝ＣＯＳ２３６°−ＳＩＮ２３６°＝１−２ＳＩＮ２３６°
ＳＩＮ（３６°Ｘ３）及びＣＯＳ（３６°Ｘ３）は、
ＳＩＮ（３６°Ｘ３）＝ＳＩＮ（３６°Ｘ２）・ＣＯＳ３６°＋ＣＯＳ（３６°Ｘ２）・ＳＩＮ３６°
＝２ＳＩＮ３６°・ＣＯＳ２３６°＋ＳＩＮ３６°−２ＳＩＮ３３６°
＝２ＳＩＮ３６°・（１−ＳＩＮ２３６°）＋ＳＩＮ３６°−２ＳＩＮ３３６°
＝３ＳＩＮ３６°−４ＳＩＮ３３６°
ＣＯＳ（３６°Ｘ３）＝ＣＯＳ（３６°Ｘ２）・ＣＯＳ３６°−ＳＩＮ（３６°Ｘ２）・ＳＩＮ３６°
＝（１−２ＳＩＮ２３６°）・ＣＯＳ３６°−２ＳＩＮ２３６°・ＣＯＳ３６°
＝ＣＯＳ３６°−４ＳＩＮ２３６°・ＣＯＳ３６°
となります。上から三番目の式にこれらを代入して、
（３ＳＩＮ３６°−４ＳＩＮ３３６°）・（１−２ＳＩＮ２３６°）＋
ＣＯＳ３６°・（１−４ＳＩＮ２３６°）・２ＳＩＮ３６°・ＣＯＳ３６°＝０
→ （３ＳＩＮ３６°−４ＳＩＮ３３６°）・（１−２ＳＩＮ２３６°）＋
２ＳＩＮ３６°・（１−ＳＩＮ２３６°）・（１−４ＳＩＮ２３６°）＝０
→ （３ＳＩＮ３６°−６ＳＩＮ３３６°−４ＳＩＮ３３６°＋８ＳＩＮ５３６°）＋
２ＳＩＮ３６°・（１−４ＳＩＮ２３６°−ＳＩＮ２３６°＋４ＳＩＮ４３６°）＝０
→ ５ＳＩＮ３６°−２０ＳＩＮ３３６°＋１６ＳＩＮ５３６°＝０
→ ＳＩＮ３６°・（５−２０ＳＩＮ２３６°＋１６ＳＩＮ４３６°）＝０
ＳＩＮ３６°は０ではないので、
５−２０ＳＩＮ２３６°＋１６ＳＩＮ４３６°＝０
ここで、Ｘ＝ＳＩＮ２３６°とおくと、
５−１５Ｘ＋１６Ｘ２＝０
が得られます。この式を解いて、
Ｘ＝（５−ルート５）/８、（５＋ルート５）/８
ＳＩＮ２３６°はＳＩＮ２４５°より小さいので、結局、
Ｘ＝（５−ルート５）/８
を得ます。
以上から、正五角形の周の長さが２πＲと等しいと置いて、
５・２Ｒ・ルート｛（５−ルート５）/８｝＝２πＲ （近似）
→ π＝５・ルート｛（５−ルート５）/８｝ （近似）
上記の値を数値計算すると、２．９３９になります。
＜∠ＣＯＨ＝３６°、∠ＣＯＤ＝７２°、ＣＤ⊥ＯＨ＞
（図１、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）