正八面体の表面積・体積・半径
正八面体の表面積、体積そして半径（内接球と外接球）を求めてみましょう。図１は
正八面体とそれに内接する内接球の図です。表面積は簡単に計算できて、一辺の
長さが１の正三角形が八面あるので、（ルート３/４）Ｘ８です。
表面積： ２ルート３
（図１、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
上図において、辺ＡＤと辺ＢＣの中点をそれぞれ点Ｇと点Ｈとします。 点Ｅ、点Ｆ、点
Ｇと点Ｈを含む平面で正八面体をカットしたときの断面図を図２に示します。 四角形
ＥＧＦＨは四辺の長さが等しい菱形です。
（図２、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
正八面体の体積は、二つの四角錐、Ｅ−ＡＢＣＤとＦ−ＡＢＣＤの体積の和になりま
す。ＥＯ＝ＦＯ＝ルート２/２であるので、四角錐の体積はルート２/６です。したがって
、正八面体の体積はルート２/３となります。
体積： ルート２/３
内接球の半径ＯＰの長さを計算してみます。三角形ＥＨＯと三角形ＥＯＰは相似な直
角三角形です。よって、以下の関係が得られます。
ＥＨ：ＨＯ＝ＥＯ：ＯＰ（内接球の半径）
→ （ルート３/２）：（１/２）＝（ルート２/２）：ＯＰ
上の比の式を解いて、ＯＰ＝ルート６/６となります。
半径（内接球）： ルート６/６
ＯＥ＝ＯＦ＝ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝ルート２/２であるので、外接球の半径はルート
２/２です。当然、外接球の中心と内接球の中心は完全に一致します。
半径（外接球）： ルート２/２