正十二面体の表面積・体積・半径
正十二面体の表面積、体積そして半径（内接円と外接円)を計算する前に、球を利
用して正十二面体を形成することを考えましょう。 正多面体の一つの頂点に対して
三つの正三角形や四つの正三角形が集まる形だと、それぞれ、正四面体や正八
面体にしかならないので、五つの正三角形が集まるようにします（図１参照）。 ただ
し、この条件から求まる正多面体が必ずしも正十二面体になるとは限りません。
＜点Ａに五つの正三角形が集まる場合＞
（図１．Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
上図から、正三角形の一辺の長さを１としたときの外接球の半径の長さを求めてみ
ます。 点Ｏは球（青）の中心で、この球は点Ａ、点Ｂ、点Ｃ、点Ｄ、点Ｅそして点Ｆで構
成される正多面体の部分面に外接します。点Ｐは球面上にある円（緑）の中心で点
Ｂ、点Ｃ、点Ｄ、点Ｅ そして点Ｆを直線で連結してできる正五角形に外接します。 当
然、点Ｐは線分ＯＡ上にあることに注意してください。 角ＣＰＤの大きさは７２度です
。ＣＰ＝ＤＰを考慮すると、ＣＰ＝ＤＰ＝１/（２ ＳＩＮ３６°）となります。また、ＣＰ⊥Ｏ
Ａから、 直角三角形ＡＰＣの各辺の長さにピタゴラスの定理を適用してＡＰの長さ
を求めると、
ＡＰ＝｛ １−１/（２ ＳＩＮ３６°）２ ｝１/２
同様に、直角三角形ＣＰＯの各辺の長さにピタゴラスの定理を適用して、
ＯＣ２＝ＣＰ２＋ＰＯ２
→ Ｒ２＝ＣＰ２＋（Ｒ−ＡＰ）２
が得られます。ここで、ＯＡ＝ＯＣ＝Ｒ（外接球の半径）です。 ＣＰとＡＰの値を上式に
代入してＲの値を求めると、
Ｒ＝｛（ＳＩＮ２３６°）/（４ ＳＩＮ２３６°−１）｝１/２
が得られ、これを数値計算すると ０．９５ になります。
それでは、 図１の球に内接する正多面体がどのようなものになるかをさらに考えて
みます。図２は、図１にＸ-Ｙ-Ｚの座標軸を加えて、点Ｂに集まる五つの正三角形を
考えるための円（ピンク）も加えています。
（図２、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
上図において、 外接球の中心を原点として点ＡはＸ軸上に取っています。 点Ａから
点Ｆまでの座標値は、Ａ＝（Ｒ、０、０）、Ｂ＝（Ｐ、Ｑ、０）、Ｃ＝（Ｐ、Ｑ ＣＯＳ７２°、ＱＳ
ＩＮ７２°）、Ｄ＝（Ｐ、Ｑ ＣＯＳ１４４°、Ｑ ＳＩＮ１４４°）、Ｅ＝（Ｐ、Ｑ ＣＯＳ２１６°、ＱＳ
ＩＮ２１６°）、Ｆ＝（Ｐ、Ｑ ＣＯＳ２８８°、ＱＳＩＮ２８８°）となります。ＰはＯＰの長さで、
ＱはＤＰの長さです。
円（ピンク）周上にある三点、 点Ａ、 点Ｃそして点Ｆの座標値は上記のように与えら
れているので、 他の二点の座標値を求めることを考えます。 点Ｂと点Fから等距離
にある点を点Ｇ、点Ｂと点Cから等距離にある点を点Ｈとします。 これらの点の座標
値は以下の関係式から計算できます。
点Ｇ → ＢＧ＝ＦＧ＝１、ＯＧ＝Ｒ
点Ｈ → ＢＨ＝ＣＨ＝１、ＯＨ＝Ｒ
ここでは、 上記の条件を満足するように球座標のθとφをプログラム的に求める
ことで座標値を計算します。以下に、その十進ＢＡＳＩＣのプログラムを示します。
上記のプログラムを使って未知の頂点の座標値を求める場合に、 ＩＦ文の条件設
定のし方によって複数個の解が得られることがあります。 そのときには、条件設定
を最適化してください。図３に、点Ｇと点Ｈの位置を示します。
（図３、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
同様に、 他の頂点も求めていくと最終的に図４のような正多面体（正二十面体）に
なります。
（図４、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
上記の正二十面体の各頂点の座標値を球座標のθとφを使って表すと以下のよう
になります（全部で１２頂点）。 ＳＩＮ関数とＣＯＳ関数内の角度の一部は近似値で
す。角度を示す記号（°）は省略しています。
点Ａ →（Ｒ ＣＯＳ０ ＳＩＮ９０、Ｒ ＳＩＮ０ ＳＩＮ９０、Ｒ ＣＯＳ９０）
点Ｂ →（Ｒ ＣＯＳ６４ ＳＩＮ９０、Ｒ ＳＩＮ６４ ＳＩＮ９０、Ｒ ＣＯＳ９０）
点Ｃ →（Ｒ ＣＯＳ３２ ＳＩＮ３２、Ｒ ＳＩＮ３２ ＳＩＮ３２、Ｒ ＣＯＳ３２）
点Ｄ →（Ｒ ＣＯＳ３０２ ＳＩＮ５８、Ｒ ＳＩＮ３０２ ＳＩＮ５８、Ｒ ＣＯＳ５８）
点Ｅ →（Ｒ ＣＯＳ３０２ ＳＩＮ１２２、Ｒ ＳＩＮ３０２ ＳＩＮ１２２、Ｒ ＣＯＳ１２２）
点Ｆ →（Ｒ ＣＯＳ３２ ＳＩＮ１４８、Ｒ ＳＩＮ３２ ＳＩＮ１４８、Ｒ ＣＯＳ１４８）
点Ｇ →（Ｒ ＣＯＳ１２２ ＳＩＮ１２２、Ｒ ＳＩＮ１２２ ＳＩＮ１２２、Ｒ ＣＯＳ１２２）
点Ｈ →（Ｒ ＣＯＳ１２２ ＳＩＮ５８、Ｒ ＳＩＮ１２２ ＳＩＮ５８、Ｒ ＣＯＳ５８）
点 Ｉ →（Ｒ ＣＯＳ２１２ ＳＩＮ３２、Ｒ ＳＩＮ２１２ ＳＩＮ３２、Ｒ ＣＯＳ３２）
点Ｊ →（Ｒ ＣＯＳ２４４ ＳＩＮ９０、Ｒ ＳＩＮ２４４ ＳＩＮ９０、Ｒ ＣＯＳ９０）
点Ｋ →（Ｒ ＣＯＳ２１２ ＳＩＮ１４８、Ｒ ＳＩＮ２１２ ＳＩＮ１４８、Ｒ ＣＯＳ１４８）
点Ｌ→（Ｒ ＣＯＳ１８０ ＳＩＮ９０、Ｒ ＳＩＮ１８０ ＳＩＮ９０、Ｒ ＣＯＳ９０）
正二十面体の面数を超える正多面体は存在しませんが、これは頂点に集まる正多
角形の数を考えれば判ります。 面が正三角形の場合は、面が六つ集まると完全な
平面になってしまいます （立体的な面を構成できない）。 面が正四角形の場合も同
様で、面が四つ集まると平面になります。
課題（その１）
角数が５以上の正多角形で正多面体を形成できますか？ もし、できないとすると
その理由はなんですか？
さて、このページの本来の目的である正十二面体をどうすれば構成できるかを考え
てみましょう。その前に、正多面体の面形状・頂点数・辺数をまとめて置きます。
正四面体 （ 正三角形、頂点数→４、辺数→６ ）
正六面体 （ 正四角形、頂点数→８、辺数→１２ ）
正八面体 （ 正三角形、頂点数→６、辺数→１２ ）
正十二面体 （ ？、頂点数→？、辺数→？ ）
正二十面体 （ 正三角形、頂点数→１２、辺数→３０ ）
正多面体の一つの頂点に集まる正三角形や正四角形の数は、 既に正四面体（正
三角形が三つ）・ 正六面体（正四角形が三つ）・ 正八面体（正三角形が四つ）・正二
十面体（正三角形が五つ）で全て網羅されているので、正多面体を構成する面の形
として正五角形を新たに検討してみます。 また、 正多面体の対称性から正二十面
体の頂点方向（１２の方向）はそのまま正十二面体の面の方向と考えて問題はない
はずです。 図５は球面上で隣接する二つの正五角形を示したものです。 正五角形
の一辺の長さは１としています。
＜点ＡはＸ軸上にある＞
（図５、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
上図において、 点Ａと点Ｂは二つの正五角形の外接円の中心です。 また、 点Ｏは
正多面体の外接球および内接球の中心です。 そして、 点Ｃは点Ａ（または点Ｂ）か
ら線分１２に垂線を引いたときの交点です。 まず、外接球と内接球の半径を求める
ことを考えます。 角ＡＯＢの大きさは、 正二十面体の隣接する頂点と球の中心を結
んでできる角の大きさと等しくなります。したがって、
ＣＯＳ（∠ＡＯＢ）＝ＰＲ / Ｒ２＝Ｐ / Ｒ
→ ∠ＡＯＢ＝６３．４°（近似）
そして、Ａ２とＡＣの長さは、
Ａ２＝１/ （２ ＳＩＮ３６°）
ＡＣ＝（ＣＯＳ３６°）/（２ ＳＩＮ３６°）＝１/（２ ＴＡＮ３６°）
となります。これらの値を使って半径を計算すると、
半径（内接球）： １/（２ ＴＡＮ３１．７°ＴＡＮ３６°）
半径（外接球）： （１/４ ＳＩＮ２３６°＋１/４ ＴＡＮ２３１．７°ＴＡＮ２３６°）１/２
が得られます。正二十面体の各頂点を求めたプログラムと同様なプログラムを作っ
て正十二面体の各頂点を求めると、
点１ →（ＴＨＥＴＡ＝３１．７、ＰＨＩ＝１１１．５）
点２ →（ＴＨＥＴＡ＝３１．７、ＰＨＩ＝６８．５）
点３ →（ＴＨＥＴＡ＝３４５．９、ＰＨＩ＝５５．２）
点４ →（ＴＨＥＴＡ＝３２２．６、ＰＨＩ＝９１．２）
点５ →（ＴＨＥＴＡ＝３４５．９、ＰＨＩ＝１２４．８）
点６ →（ＴＨＥＴＡ＝７７．５、ＰＨＩ＝５５．２）
点７ →（ＴＨＥＴＡ＝１０１．３、ＰＨＩ＝９０．０）
点８ →（ＴＨＥＴＡ＝７７．５、ＰＨＩ＝１２４．８）
点９ →（ＴＨＥＴＡ＝２９９．２、ＰＨＩ＝２２．２）
点１０ →（ＴＨＥＴＡ＝２９９．２、ＰＨＩ＝１５７．８）
点１１ →（ＴＨＥＴＡ＝１２４．２、ＰＨＩ＝２２．２）
点１２ →（ＴＨＥＴＡ＝１２４．２、ＰＨＩ＝１５７．８）
点１３ →（ＴＨＥＴＡ＝２５６．８、ＰＨＩ＝５６．７）
点１４ →（ＴＨＥＴＡ＝１６６．６、ＰＨＩ＝５６．７）
点１５ →（ＴＨＥＴＡ＝２８０．５、ＰＨＩ＝９１．８）
点１６ →（ＴＨＥＴＡ＝１４３．４、ＰＨＩ＝９１．２）
点１７ →（ＴＨＥＴＡ＝２５６．８、ＰＨＩ＝１２３．３）
点１８ →（ＴＨＥＴＡ＝１６６．６、ＰＨＩ＝１２３．３）
点１９ →（ＴＨＥＴＡ＝２１１．７、ＰＨＩ＝１０９．９）
点２０ →（ＴＨＥＴＡ＝２１１．７、ＰＨＩ＝７０．１）
となります。これらの角度の値には、多少の計算誤差が含まれているので注意して
ください（度の記号は省略）。図６はこれらの点を３Ｄ的に作図したものです。
＜頂点数→２０、辺数→３０＞
（図６、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
最後に、 正十二面体の表面積と体積を計算します。 表面積は五つの合同な二等
辺三角形の面積１/（４ ＴＡＮ３６°）の和になる正五角形の面積を考慮して、
表面積： １５/（TAN３６°）
上の結果を使って、五角錐の体積を計算してそれを１２倍すると、
体積： ５/（２ ＴＡＮ３１．７°ＴＡＮ２３６°）
ちなみに、正六角形を一つの頂点に三つ集めると平面になってしまうので、正多面
体を形成することはできません（角数が７以上の正多角形でも正多面体を形成でき
ない）。
課題（その２）
三角関数を無理数で表現することで、 正十二面体の表面積と体積がウィキぺディ
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