L2+M2=N2を満たす自然数の組を求める


 

L=Mでないことは明白です。なぜなら、2L=Nを満たす自然数 N は存在しませ

ん。両辺のルートをとると、左辺は無理数で右辺は有理数になります。 たぶん、皆

んの多くはピタゴラスの定理(または三平方の定理)を習う過程で、 次のような

例に出会ったことと思います。

 

+4=52  そして、 +12=13

 

では、 このような組み合わせは無限にあるのでしょうか。 また、 どう すれば、その

わせを効率よく求めることができるのでしょうか。 ここで、 少し考察してみま

う。

 

まず、L<M<Nとして、 しらみつぶしに探すプログラムを書いてみました。 1から1

0までのほぼ10万強( 正確には 1003 )の組み合わせの中で52組見つかりま

この数字は、多いそれとも少ない!?

 

PROGRAM-SHIZENSU-KUMI.GIF - 4,220BYTES

 

以下に、最初の25組を示します。

 

CAL-SHIZENSU-KUMI.GIF - 7,720BYTES

 

N=M+Aとおいて、 L+M=NからL=2AM+Aを導き、 これを満たすL、

、M、Aを求める方法もあると思いますので試してください。

 

さて、次数を一つ上げて、 +M=Nを満たす自然数の組は存在するのでし

ょうか。上のプログラムを変えてチェックしてみてください。

 

ちなみに、1から100までの組み合わせの中には存在しません。

 

 

フェルマーの最終定理(現在は、フェルマー・ワイルズの定理)

 

実は、 +M=Nについて自然数 n が3以上の場合、  この式を満足る自

然数の組 ( L、M、N ) が存在しないことは、 17世紀のフランス人数学ルマ

によって証明されていたと言います。 ただし、その記録は残ってないため、20

世紀後半にワイルズによって再度証明されるまで、誰も明できなかったことは有

名な話です。 n=3については、 数学者であるオイラが証明を与えていることを

付け加えておきます。

 

したがって、 上記の式を満たす自然数の組を一つでもコンピュータを使ってつけ

れば、皆さん歴史上に自分の名前を残せます(これは悪魔の誘惑!?)

 

課題として、L、M、N を整数まで拡張して考えてみてください。  n が偶数のときは

上記の定理に帰結すると思いますが、n が奇数の場合はどうなるでしょうか。 以下

のような組み合わせは無限にあるようですが。 それ以外の組み合わせも無限にあ

る!?

 

L=1、M=−1、N=0

 

また、を除いた整数に範囲を絞るとどうなるでしょうか!?

 

 

ピタゴラスの定理の図形的な証明

 

下図は、辺の長さが3:4:5の比になっている直角三角形です。ピタゴラスの定理

+b=cを図形の面積を使って表すと(図1参照)、

 

S(正方形ACDE)+S(正方形AFGB)=S(正方形CBHI)

=4XS(直角三角形BMC)+S(正方形JKLM)

=4X(3X4/2)+(4−3)

=4+3

(=5

 

となります。斜辺の長さの二乗に相当する正方形の面積を四つの直角三角形の

面積と一つの正方形の面積の和 4X(a b/2)+(a−b)で置き換えられることに

注意してください。この値は結局、+bとなります。

 

PYTHAGORAS-HEN-HI-3-4-5.GIF - 10,301BYTES

Functionviewで作成)

 

図2は、別な直角三角形(辺の長さの比、1:3:ルート10)です。上図と同様に、定

理を証明できます。

 

PYTHAGORAS-HEN-HI-1-3-ROOT10.GIF - 9,957BYTES

Functionviewで作成)

 

 


 

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