ひもの問題（その１）
滑車の問題を考えましょう（図１参照）。 左右の定滑車の間に、動滑車が配置され
ています。それぞれの重りの質量はＭ１＝Ｍ、Ｍ２＝３Ｍ、そしてＭ３＝２Ｍです。
滑車は質量が無視できなめらかに動きます。 また、ひもも質量が無視でき滑らず
に動くものとします。まず最初に、それぞれの重りに関する運動方程式を求めます
ただし、重力加速度はGとしました。
質量Ｍ１の重りに関する運動方程式（加速度の向きは上向き）は
Ｍ１Ａ１＝Ｔ１−Ｍ１Ｇ
質量Ｍ２の重りに関する運動方程式（加速度の向きは下向き）は
Ｍ２Ａ２＝Ｍ２Ｇ−Ｔ１
質量Ｍ３の重りに関する運動方程式は（加速度の向きは下向き）は
Ｍ３Ａ３＝Ｍ３Ｇ−Ｔ２
とそれぞれなります。これだけでは Ｔ１とＴ２の関係が判らないので、真ん中にある
動滑車に関する運動方程式（加速度の向きは下向き）を考えてみましょう。 この場
合は、滑車の質量を無視しているので加速度の項はなくなります。
０＝Ｔ２−２Ｔ１
ここで、 それぞれの重りの高さの変化をＸ１、X２、Ｘ３（ Ｘ１は上向き、Ｘ２とＸ３は下
向き ）とすると、次の関係が得られます。
Ｘ２−Ｘ１＝−２Ｘ３
よって、この式を時間に関して二回微分すると、
Ａ２−Ａ１＝−２Ａ３
となります。 これで未知数５に対して方程式が５つできました。後は、これらを連立
させて解けばいい訳です。
M1A１＝T１−M１G
M２A２＝M２G−T１
M３A３＝M３G−T２
０＝T２−２T１
A２−A１＝−２A３
四番目の式を三番目の式に代入してＴ２を消去します。
M1A１＝T１−M１G
M２A２＝M２G−T１
M３A３＝M３G−２T１
A２−A１＝−２A３
一番目の式に二番目の式を、そして一番目の式を２倍して三番目の式を足してＴ１
を消去します。
M1A１＋M２A２＝M２G−M１G
２M1A１＋M３A３＝M３G−２M１G
A２−A１＝−２A３
三番目の式をＡ２について解いて一番目の式に代入してＡ２を消去する。
（M１＋M２）A１−２M２A３＝（M２−M１）G
２M１A１＋M３A３＝（M３−２M１）G
一番目の式にＭ３をかけ二番目の式に２Ｍ２をかけ足すと、
（４M１M２＋M２M３＋M３M１）A１＝（−４M１M２＋３M２M３−M３M１）G
よって、
A１＝（−４M１M２＋３M２M３−M３M１）G / （４M１M２＋M２M３＋M３M１）
その他の式は、
A２＝（４M１M２＋M２M３−３M３M１）G / （４M１M２＋M２M３＋M３M１）
A３＝（−４M１M２＋M２M３＋M３M１）G / （４M１M２＋M２M３＋M３M１）
T１＝４M１M２M３G / （４M１M２＋M２M３＋M３M１）
T２＝８M１M２M３G / （４M１M２＋M２M３＋M３M１）
となります。
A１の式にＭ１、Ｍ２、Ｍ３の各値を代入すると、
A１＝（−１２M２＋１８M２−２M２）G / （１２M２＋６M２＋２M２）＝G / ５
また、A２、A３、T１、T２については以下のようになります。
A２＝３G / ５
A３＝−G / ５
Ｔ１＝６ＭG / ５
Ｔ２＝１２ＭG / ５
別な例を考えてみましょう。M１＝M２＝M、M３＝２Mとすれば、
A１＝０
A２＝０
A３＝０
T１＝MG
T２＝２MG
この例では、 両端にある重りの質量の合計が真ん中にある重りの質量に等しいた
め、 力がつり合って重りがまったく動かなくなります（正確には、 静止または等速
度運動となる）。
真ん中の動滑車に質量MKがあった場合はどうなるでしょうか！？