答え（球、その３）
球の半径はＲで、その質量はＭであるとします。 また、 球の衝突は完全な弾性衝
突であると仮定すると、 衝突の前後で二つの球の運動量の和は保存されます。
まず、 平面上で転がる球について考えます。 球Ａの速度をＶＡとし、 球Ｂの速度を
ＶＢとします。 衝突時において、 一つの球が他の球に及ぼす力はそれぞれの球の
中心を結ぶ方向を向いていると仮定しても良いので、 図１のようになります。 ただ
し、球を真上から見た図です。球Ｂと共に動く座標系で検討しても問題の一般性は
失われないので、最初はその座標系で議論を進めます。 したがって、 それぞれの
球の速度（衝突前）は、 球Ｂの速度が０で球Ａの速度はＶＡ＋ＶＢ＝Ｖとなります。
＜球を真上から見た図＞
（図１、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
運動量保存則に基づいた簡単な計算から、二つの球の中心を結んだ方向の速度
成分が衝突時に交換されることが判ります（この計算は課題とします）。 ゆえに、
衝突後のそれぞれの球の速度は、
球Ｂと共に動く座標系での速度
Ｘ方向（球Ａ）： −Ｖ ＳＩＮφＣＯＳ（π/２−φ）＝−Ｖ ＳＩＮ２φ
Ｙ方向（球Ａ）： Ｖ ＳＩＮφＳＩＮ（π/２−φ）＝Ｖ ＳＩＮφＣＯＳφ
Ｘ方向（球Ｂ）： −Ｖ ＣＯＳ２φ
Ｙ方向（球Ｂ）： −Ｖ ＳＩＮφＣＯＳφ
図１において、上方向がＹ軸の＋方向、右方向がＸ軸の＋方向としています。また、
球Ａの進行方向と球の中心を結ぶ方向のなす角度はφとし、以下の関係から計算
できます。
ｄ＝２Ｒ ＳＩＮφ
上記の結果を元の座標系の値に焼き直すと、
二つの球が共に動く座標系での速度
Ｘ方向（球Ａ）： −（ＶＡ＋ＶＢ）・ＳＩＮ２φ＋ＶＢ
Ｙ方向（球Ａ）： （ＶＡ＋ＶＢ）・ＳＩＮφＣＯＳφ
Ｘ方向（球Ｂ）： −（ＶＡ＋ＶＢ）・ＣＯＳ２φ＋ＶＢ
Ｙ方向（球Ｂ）： −（ＶＡ＋ＶＢ）・ＳＩＮφＣＯＳφ
となります。以上から、球Ａの角度の変化量（時計方向を＋）θは、
ＣＯＳθ＝｛ ＶＡ（ＶＡ＋ＶＢ）・ＳＩＮ２φ−ＶＡＶＢ｝/ ＶＡ{
（ＶＡ−ＶＢ）（ＶＡ＋ＶＢ）・ＳＩＮ２φ＋ＶＢ２｝１/２
の関係から求められます。ＶＡ＝ＶＢと仮定して、ＳＩＮφの値を上式に代入して整理
すると、
ＣＯＳθ＝２（ｄ/２Ｒ）２−１＝ｄ２/２Ｒ２−１
が得られます。θは最終的に、
θ＝ＣＯＳ−１（ｄ２/２Ｒ２−１）
となります。すなわち、ｄ＝０のとき、球Ａは衝突後１８０度反対方向に進み、ｄ＝２
Ｒのとき、 球Ｂとほとんど接触せずに衝突前の進行方向と同じ方向に進みます。
図２は ｄ とθの関係を示した図です。
＜横軸はｄ/Ｒで表示＞
（図２、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉｅｗで作成）
課題（その１）
θ＝９０度になるｄの値を求めてください。 ただし、 二つの球の質量は同じで半径
はＲとします。また、ＶＡ＝ＶＢとします。
課題（その２）
球Ａの質量をＭＡ、球Ｂの質量をＭＢとしたときのθの式を求めてください。 ＭＢ>>
ＭＡの極限におけるｄとθの関係を示すグラフを作成してください。