正二十面体の表面積・体積・半径
正十二面体における議論から、正二十面体の外接球の半径は既に判っています。
半径（外接球）： ｛（ＳＩＮ２３６°）/（４ＳＩＮ２３６°−１）｝１/２
表面積は、 正三角形が２０面あるので正三角形の面積（ルート３/４）Ｘ２０ということ
になります。
表面積： ５ルート３
内接球の半径は体積を計算するときの三角錐の高さでもあるので、 まず、 内接球
の半径を計算します。 正二十面体の各面を構成する正三角形の重心で内接球と
接するのは明らかなので、上記で得られた外接球の半径を使って計算すると、
半径（内接球）： ｛（１−ＳＩＮ２３６°）/（１２ＳＩＮ２３６°−３）｝１/２
この結果を使って体積を計算します。 正三角形を底面とする三角錐の体積は内接
球の半径が高さになるので、 ２０Ｘ底面積（ルート３/４）Ｘ半径（内接球）/３となりま
す。
体積： （５ルート３/３）｛（１−ＳＩＮ２３６°）/（１２ＳＩＮ２３６°−３）｝１/２
課題（その１）
ＳＩＮ２３６°が（５−ルート５）/８になることを証明した後で、 正二十面体の体積が
ウィキぺディア（日本語版）の答えのようになることを確認してください。
ヒント： ＳＩＮ（３６°Ｘ５）＝ＳＩＮ １８０°＝０
課題（その２）
一辺の長さが１の正五角形と正六角形を使って、サッカーボールの骨組みができ
るかチェックしてください。 もし、それが可能な場合、その頂点の座標値を全て求め
て３Ｄ的に作図してください。