放物線運動

物体を投げるときに、どの角度で投げればより遠くまで届くかを考えてみます。物

体を投げる角度をθそして初速度をＶ₀として計算します。

鉛直上方をＹ軸の＋方向、  物体が飛んでいく水平方向をＸ軸の＋方向として物体

の放物線運動を式で表すと、

Ｘ方向： Ｘ＝（ Ｖ₀ ＣＯＳθ） ｔ

Ｙ方向： Ｙ＝（ Ｖ₀ ＳＩＮθ） ｔ −Ｇ ｔ^２ / ２

ここで、物体の初期位置は座標の原点（０、０）とし、またＧは重力加速度です。

次に、上記の式を微分して速度を求めます。

Ｘ方向： Ｖ_Ｘ＝Ｖ₀ ＣＯＳθ

Ｙ方向： Ｖ_Ｙ＝Ｖ₀ ＳＩＮθ−Ｇ ｔ

よって、物体が最高点に達する時間 ｔ_ｐで Ｖ_Ｙ＝０ となるから、

ｔ_ｐ＝（ Ｖ₀ ＳＩＮθ）/ Ｇ

これより、地上から物体を投げ上げて再び物体が地上に戻ってくる時間 ｔ_ｌ は、

ｔ_ｌ＝２ ｔ_ｐ

したがって、物体の水平方向の到達距離は上記の時間 ｔ_ｌ に水平方向の速さをか

けたものになります。

Ｘ_ｌ＝（ ２ Ｖ₀^２ ＳＩＮθＣＯＳθ）/ Ｇ＝（ Ｖ₀^２ ＳＩＮ ２θ）/ Ｇ

以上から、θが４５度の時 Ｘ_ｌが最大値 Ｖ₀^２/ Ｇ を取ることが判ります。

具体的に例をあげて説明します。 物体の初速度を１０ ｍ/s とし、投げ上げる角度

を３０度、４５度、６０度と変えたときの放物線を示します （図１参照、Ｆｕｎｃｔｉｏｎｖi

eｗで作成）。

上の図から判るように、  角度が４５度のとき一番遠くまで物体が飛んでいることが

見てとれます（Ｘ軸との交点から約１０ ｍ 飛んでいることが判ります）。

では、 空気抵抗の影響を考慮した場合は角度や最高到達距離はどうなるでしょう

か。放物線運動の微分方程式に戻って考えてみます。

空気抵抗下の運動で議論したように、一般の人がボールを投げる程度ならボール

の速さは空気分子の速さに比較してかなり遅くなるため、  空気抵抗の項はボー

ルの速さに単純に比例すると考えて問題はありません。

ここでは、 運動方程式（微分方程式）をベクトルではなく、スカラーで表示します。

Ｘ方向： ｍｄ^２Ｘ/ ｄｔ^２＝−ｒｄＸ/ ｄｔ

Ｙ方向： ｍｄ^２Ｙ/ ｄｔ^２＝−ｒｄＹ/ ｄｔ−ｍＧ

上記の式を、速度を使って表すと、

Ｘ方向： ｍｄＶ_Ｘ/ ｄｔ＝−ｒＶ_Ｘ

Ｙ方向： ｍｄＶ_Ｙ/ ｄｔ＝−ｒＶ_Ｙ−ｍＧ

となります。 Ｖ_ＸとＶ_Ｙに関する初期値（ Ｖ₀ ＣＯＳθ、Ｖ₀ SINθ）を使って、上式の解

を求めると、

Ｘ方向： Ｖ_Ｘ＝Ｖ₀ ＣＯＳθ・ＥＸＰ（−ｒｔ/ ｍ）

Ｙ方向： Ｖ_Ｙ＝（Ｖ₀ SINθ+ ｍＧ/ｒ）・ＥＸＰ（−ｒｔ/ ｍ）−ｍＧ/ ｒ

となります。ＸとＹに関する初期値（０、０）を使って、上式の解をさらに求めると、

Ｘ方向： Ｘ＝−｛ ｍＶ₀ ＣＯＳθ・ＥＸＰ（−ｒｔ/ ｍ） } / r

＋ ( ｍＶ₀ ＣＯＳθ) / ｒ

Ｙ方向： Ｙ＝− { ｍ（Ｖ₀ SINθ+ ｍＧ/ｒ）・ＥＸＰ（−ｒｔ/ ｍ） } / r

−ｍＧt/ ｒ ＋ ｍ（Ｖ₀ SINθ+ ｍＧ/ｒ） / r

となります。

上式に関する補足説明

課題（その１）

ｔ→∞のとき、Ｘ方向の位置は（ ｍＶ₀ ＣＯＳθ）/ｒ に収束します。 このことが本当

に正しいか実験的に確かめてください。

上記の式を解析的に解いて最大値を求めることは難しいと思われるので、 実際に

、数値を代入して軌道を計算してみましょう。

物体を野球の硬式球とします。重さを１５０g（＝０．１５ｋｇ ）、直径が１０ｃｍ（＝０．

１ｍ ）とします。ｒ を計算すると、

ｒ＝８９．３ ｍ_ａｉｒＮ_ＡＵＳ＝８９．３Ｘ２８．８Ｘ１０^−３Ｘ２８１Ｘ７８．５Ｘ１０^−４

＝５．６７　ｋｇ / ｓ

となります。ただ、硬式球は球形なので上の値よりはかなり小さな r を取ると考え

られます。実験での検証も考慮して、ｒ の値として０．２、０．１そして０．０１kg/ sの

三つのケースについてシミュレーションを行います。

r が０．０１kg / sの場合について示します（図２参照、Ｆｕｎctionviewで作成）。